资源描述
p n n 2 4 2 ， 8 8， 8 8， 8 8， 8 82 x Q 一、选择题1某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买 的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为 、1p2(p p1 2)，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A甲B乙C甲、乙一样D无法确定2若 ab，则下列不等式一定成立的是（ ）.A1 1b5C ac2bc2Da b3已知a , b R +， 2 ab +b2+2 a +b =9 ，则 a +b的最小值（ ）A1 B2 C52D34已知函数 f ( x) =x2-2 x +a x，若x 2, +)，f ( x ) 0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A( -,0)B(0, +)C0, +)D(1,+)5设m =log0.6 ， n =0.312log 0.62，则（ ）ACm -n m +n mn m +n m -n mnBDm -n mn m +n mn m -n m +n6等差数列a 的前 n 项和 S ，且 4S 6，15S 21，则 a 的取值范围为（ ）A9 47 B23 33 C9 33 D23 47 7如果a =sin 2，b =1 12，c =log10.53，那么( )A a b cBc b aCa c bDc a b8 如果关于 的不等式x -3 + x -4 QCP QDP b ，则下列不等式成立的是（ ）a , m2 2p : x q : xp q x p q aA a 2 b 2B1 1bD e a e b12 x 2 是 x +1 1成立的( )A充分不必要条件 C充要条件二、填空题B必要不充分条件D既非充分又非必要条件13已知平面向量 a ， b ， c满足 a =1 ， | b |=1 ，c -( a +b ) a -b，则 | c |的最大值为_14给出下列语句：若 a, b 为正实数， a b ，则 a3+b 3 a 2 b +ab 2 ；若 为正实数，a b，则a +m ac 2 c 2，则 a b ；当x (0,p2) 时， sin x +2sin x的最小值为 2 2 ，其中结论正确的是_15比较大小： 6 + 7 _2 2 + 516已知不等式 xy ax +2 y ，对任意x 1,2, y 4,5恒成立，则实数 a 的取值范围是_17某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买 2 支玫瑰与 1 支康乃馨所需费用之和大于 8 元，而购买 4 支玫瑰与 5 支康乃馨所需费用之和小于 22 元.设购买 2 支玫瑰花所需费用 为 A 元，购买 3 支康乃馨所需费用为 B 元，则 A、B 的大小关系是_18若关于 x 的不等式| x +a |b( a, b R )的解集为x | 3 x 0)，若f (3) 1的解集；（1）求不等式（2）若 a 、 b 、 c 均为正数，且满足a +b +c =mb2 c 2 a 2 ，求证： + + 3a b c22设 实数 满足 x 2 -4 ax +3a 2 0 ， 实数 满足 （1）若 a =1 ，且 为真，求实数 的取值范围；x -3 0且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.x ax m x 1 21 21 2( ) ( ) 23已知函数f ( x ) = x -1 +a x +2.（1）当 a =1 时，求不等式f ( x) 4的解集；（2）当 a -1时，若f ( x )的图象与 轴围成的三角形面积等于 6，求 的值.24已知函数f ( x ) =|x -1| -2| x +3|.f ( x ) 1的解集；（1）求不等式（2）若存在实数 ，使得不等式m2-3m -f ( x) 3 -x；（2） | 5 x -x 2 | 5 26设函数f ( x ) =1 1ax 3 + bx 2 +cx +1 3 2，fx为f (x)的导函数，f (1) =-a2，3a 2 c 2b.（1）用 a，b 表示 c，并证明：当a 0时，-3 b 30，所以，p +p 2 p p 1 2 1 22 p +p1 2.因此，乙方案的平均价格较低.故选：B.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法 的主要步骤为：作差变形判断正负在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考 虑比商2B解析：B【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论【详解】ab，则1 1与 的大小关系不确定；由函数 y=x5 在 R 上单调递增，a5b5； a bc=0 时，ac2=bc2；取 a=-1，b=-2，|a|b|不成立因此只有 B 成立故选 B【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题3C解析：C【分析】令z =a +b，得a =z -b，代入 2ab +b2+2 a +b =9 ，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得 【详解】a +b的最小值.令z =a +b，得a =z -b，代入 2ab +b2+2 a +b =9 并化简得b2 +(1-2z)b-2z+9=0，关于 b 的一元二次方程有正解，所以首先D=(1-2z)2-4(-2z+9)0，即(2z+7)(2z-5)0，由于 a , b 是正实数，所以2 z -5 0 ，即 z 5 5，也即 a +b的最小值为 . 2 2此时对称轴-1 -2 z 2 z -1 1= =z - 2 0 2 2 2，所以关于 b 的一元二次方程b2+(1-2z)b-2z+9=0有正解，符合题意.故选：C【点睛】x 2 2 0.60.60.60.6本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 4B解析：B【分析】结合已知不等式可转化为即 a -x2+2 x ,结合二次函数的性质求 -x2+2 x 在2, +)上的最大值,即可求解 【详解】解:x 2, +),f ( x ) =x 2 -2 x +ax0 x 2, +), x 2 -2 x +a 0即 a -x2+2 x 在x 2, +)上恒成立.结合二次函数的性质可知当x =2时, -x2 +2 x 取得最大值为 0.即a 0.故选:B【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于f ( x )的不等式在 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若a h ( x )在区间上恒成立,只需求出h( x)的最大值,令a h ( x )max即可; 若a h ( x )在区间上恒成立,只需求出h ( x)的最小值,令a 0 , n m +n;通过比较1 1+m n与 1 的大小关系,即可判断m +n mn,从而可选出正确答案.【详解】解:m =log0.30.6 log 1 =00.3,1 1n = log 0.6 log 1 =0 2 2,则mn 0,m-nm+n1 1+ =log 0.3 +log 4 =log 1.2 mnm n故选:A.【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于f ( x ) =log xa,若0 a 1,则(1)当 0 x 0; (2)当x =1时,f ( x) =0; (3)当x 1时,f ( x ) 1 ,则(1)当 0 x 1时,f ( x ) 1 时,f ( x) 0.6B解析：B2 ( ) (2 2 2 ( ) (2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) () 2 2 2 1 0.50.5【分析】首先设公差为 d，由题中的条件可得4 2 a -d 6 2和15 21 2a +d 2 2，利用待定系数法可得a =21 12a -d + 2a +d 4 4)，结合所求的范围及不等式的性质可得23 33a 8 2 8【详解】.设公差为 d，由4 S 62，得4 a +a 61 2，即4 2 a -d 6 2；同理由15 S 214可得15 21 2a +d 2 2.故可设a =x (2a -d )+y(2a+d 2 2 2)，所以有a =(2x+2 y )a +(y-x)d 2 2，所以有y =x2 x +2 y =1，解得x =y =14，即1 1a = 2 a -d + 2 a +d 4 4)，因为1 1 3 15 1 212a -d ， 2 a +d 4 2 8 4 8.所以23 1 1 33 23 33 2a -d + 2a +d ，即 a 8 4 4 8 8 8.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度， 运算次数越少，范围越准确.7D解析：D【分析】由题意可知，a =sin 2 sin3p4，1 2 2 b = = 1 0.53，从而判断a , b, c的大小关系即可.【详解】p22 3p43p p sin sin 2 2 32，即 a log =1 ，即 c =log 13 2 31 1 2 2 b = = 12 2b a b ，此时a 2 b 2 ,1 1a b, a b ，所以 eaeb，故选 D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式 的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力.12B解析：B【解析】分析：先化简 x 2 和 x +1 1 详解：因为 x 2 ，所以-2x2.，再利用充要条件的定义判断.因为x +1 1，所以-1x+11，所以-2x0.因为-2x2 成立，则-2x0 不一定成立，所以 x 2 是 x +1 1成立的非充分条件.因为-2x0 成立，则-2x2 一定成立，所以 x 2 是 x +1 1成立的必要条件.所以 x 2 是 x +1 1成立的必要不充分条件.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的 掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法:定义法、集合法和转化法.二、填空题13【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式 成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为 定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与 解析： 2 2【分析】只有不等号左边有c，当| c |为定值时，相当于存在c的一个方向使得不等式成立适当选取【详解】c使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边当| c |为定值时， | c -( a +b ) |当且仅当 c 与 a +b 同向时取最小值，此时 | c -( a +b ) |=|c | -| a +b | a -b |，所以 | c | a +b | +| a -b |因为 | a |=|b |=1 ，所以 ( a +b ) 2 +( a -b ) 2 =2(a 2 +b 2 ) =4 ，所以 (| a +b | +| a -b |)2=( a +b )2+( a -b )2+2 | a +b | | a -b | 2(a +b )2+(a -b )2 =8所以 | c | | a +b | +| a -b | 2 2 ，当且仅当 a b 且 c 与 a +b 同向时取等号故答案为 2 2 【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中 档题14【分析】利用作差法可判断出正确；通过反例可排除；根据不 等式的性质可知正确；根据的范围可求得的范围根据对号函数图象可知 错误【详解】为正实数即可知正确；若则可知错误； 若可知则 即可知解析：.【分析】利用作差法可判断出正确；通过反例可排除；根据不等式的性质可知正确；根据x的范围可求得 sin x的范围，根据对号函数图象可知错误.【详解】 2 2 2 y a3 +b 3 -a 2 b -ab 2 =a 2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)a b， a , b 为正实数 (a-b)20， a +b 0 a 3 +b 3 -a 2 b -ab 2 0 ，即 a3 +b 3 a 2b +ab 2 ，可知正确；若 a =1 ，b =2， m =1，则a +m 2 1 a = =b +m 3 2 b，可知错误；若a bc 2 c 2，可知 c20 ，则a b c2 cc 2 c 22，即 a b ，可知正确；当x 0,p2时， sin x (0,1)，由对号函数图象可知：sin x + (3,+) sin x，可知错误.本题正确结果：【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于 常规题型.15【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的 大小显然从而考点：1 数或式的大小比较；2 分析法解析：【详解】试题分析：要比较 6 + 7 、2 2 + 5的大小，只须比较 ( 6 + 7) 2 =13 +2 42 、(2 2 + 5) =13 +4 10 =13 +2 40 ，要比较 13 +2 42 、 13 +2 40 两数的大小，只须比较 42, 40 的大小，显然 42 40 ，从而 6 + 7 2 2 + 5考点：1数或式的大小比较；2分析法16【分析】先将不等式对任意恒成立转化为不等式对任意恒成立再令转化为 对任意恒成立求解即可【详解】因为不等式对任意恒成立所以不等式对任意恒 成立令所以对任意恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查不等 解析： -6, +)【分析】先将不等式 xy ax 2 +2 y 2 ，对任意x 1,2, y 4,5恒成立，转化为不等式y y a -2 ，对任意 x x x 1,2, y 4,5恒成立，再令 t = 2,5x，转化为a t -2t 2 ，对任意 t 2,5 恒成立求解即可. 【详解】因为不等式 xy ax2+2 y2，对任意x 1,2, y 4,5恒成立，2 y所以不等式 a -2xyx2，对任意x 1,2, y 4,5恒成立，令 t =yx2,5，所以 a t -2t2，对任意 t 2,5 恒成立， 1 1 令 y =-2 t - + ， 4 8所以所以y =-6maxa -6，故答案为：-6, +)【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解 的能力，属于中档题.17AB【分析】设每支支玫瑰 x 元每支康乃馨 y 元则由题意可得：代入可得： 根据不等式性质联立即可得解【详解】设每支支玫瑰 x 元每支康乃馨 y 元则由 题意可得：代入可得：根据不等式性质可得：而可得故故答案为：【点 解析： AB【分析】设每支支玫瑰 x 元，每支康乃馨 y 元，则2 x =A,3 y =B， 由题意可得： 2 x +y 8 4 x +5 y 8 3，代入可得： 5 B2 A + 8 4 x +5 y 8 3代入可得： 5 B2 A + 22 3，根据不等式性质可得：B 8 -B3，可得A 6,故 A B ， 故答案为： A B . 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能 力，属于中档题.18【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即 所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质 是解题关键解析： -5【分析】利用绝对值的性质 【详解】x a -a x a解不等式后与已知比较可求得 a , b 由| x +a |b得-b x +a b，即-a -b x -a+b，-a-b=3 a =-4所以 ，解得 ，所以 -a +b =5 b =1a -b =-5故答案为： -5 【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键194【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详 解】由题意知则当且仅当时取等号 的最小值为 4【点睛】本题考查函数的 值域及基本不等式的应用属中档题解析：4【分析】先判断 a、c 是正数，且 ac =1 ，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知，a0，=4 -4 ac =0，ac =1，c0，则a +1 c +1 a 1 c 1 a c 1 1 1+ = + + + =（ + ）+（ + ）2 +2 =2 +2 =4， c a c c a a c a c a ac当且仅当 a =c =1 时取等号a +1 c +1 +c a的最小值为 4【点睛】 本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题.20【解析】分析：即再分类讨论求得的范围综合可得结论详解：函数函数由 可得其中下面对进行分类讨论时可以解得时可以解得综上即答案为点 睛：本题主要考查绝对值不等式的解法体现了转化分类讨论的数学思想属于中 档题 2 2 2 2- 1,3 1 + 5 5 + 21 解析： ( , )2 2【解析】分析：f (3)5，即x +1a+ x -a 0)，由f (3)5，可得x +1a+ x -a 0 ，下面对 a 进行分类讨论， a3 时， （f 3）=3 +1a+a -355 + 21，可以解得 3a ,2 0a 3时，（f3）=3 +1a+3 -a51 + 5，可以解得 a 321+ 5 5 + 21 综上， a , 1+ 5 5 + 21 即答案为 , . 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档 题三、解答题21（1） 5 ；（2）证明见解析.【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解不等式； （2）先求出 m =3 ，再由基本不等式即可证明. 【详解】（1）解：当x 1时，f (x)=x-4-2x -1 =(4-x)-2(1-x)=x+2，令f(x)1 ，即 x +2 1，解得 x -1，此时-1x 1；当1 x 1，即-3x +6 1，解得x 5 5 ，此时1 x 1 ，即 -x -2 1 ，解得 x 1的解集为 5 ；（2）解：由（1）知，当 x 1 时，f (x)=x+23；当1 x 4时，f (x)=-3x+6(-6,3)；当 x 4 时，f (x)=-x-2-6综上所述，函数y = f (x)的最大值为m =3，a +b +c =3由基本不等式得a 2 b2 c 2 a2 b2 c2 + + +a +b +c = +c + +a + +b 2a +2b +2c c a b c a b，当且仅当a =b =c =1时，等号成立，所以b 2 c 2 a2+ + a +b +c =3 a b c【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解和不等式的证明，解题的关键是分段去绝对值 求解，能正确利用基本不等式建立关系.22（1）x|2 x 3（2）43a 2【分析】（1）解一元二次不等式求得 p 中 x 的取值范围，解绝对值不等式求得 q 中 x 的取值范围， 根据 为真，即 都为真命题，求得 的取值范围.（2）解一元二次不等式求得 中 的取值范围，根据 是 的充分不必要条件列不等 式组，解不等式组求得实数 的取值范围.【详解】对于 ：由x -3 1得-1 x -3 1，解 2 x 4（1）当 a =1 时，对于 ：x2-4 x +3 =(x-3)(x-1)0，解得1 x 3，由于 p q 为2 x 4真，所以 都为真命题，所以 1 x 3解得2 x 3，所以实数 的取值范围是x|2 x 0时，对于 p ：x2-4ax +3a2=(x-a)(x-3a)0，解得 a x 3 a .由于pa 2是 的充分不必要条件，所以 是 的必要不充分条件，所以 ，解得3a 44 4a 2 .所以实数 的取值范围是 3 3a 2.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取x a a - ,2 2x 值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.23（1）5 3- , 2 2；（2）a =-2.【分析】（1）将 a =1 代入f ( x)中，然后根据f ( x ) 4，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出f ( x )的图象与 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为 6 得到关于 的方程，再求出 的值. 【详解】解：（1）当 a =1 时，2x +1, x 1 f ( x ) = x -1 + x +2 =3,-2x 1-2x -1, x -2 .f ( x) 4，2x +1 4 -2x-1 4 或 -2 x 1 或 ，x 1 x -2 1 x32或-2 x 1 或 -5 5 3 x -2 ， - x2 2 2，不等式的解集为 5 3 .（2）当 a -1时，-(a+1)x +(1-2 a), x -2 f ( x ) =(a -1)x +2 a +1, -2 x 1 ( a +1)x +(2 a -1), x 1，当 a -1时，令f ( x ) =0 ，则 x =1 -2 a 2 a +1 或 x = ，a +1 1 -a又由 y =-(a +1)x +(1-2 a) y =( a -1)x +2a +1，得 y =3 ，f ( x )的图象与 轴围成的三角形面积等于 6，1 2a +1 1 -2 a 3 -2 1 -a a +1 =6，解得a =-2或a =12（舍).m 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.24（1）( -,-6)( -2, +)；（2）( -1,4).【分析】（1）将函数y = f ( x )的解析式表示为分段函数，然后分x -3、-3 x 1、x 1三段求解不等式f ( x ) 1，综合可得出不等式f ( x ) 1的解集；（2）求出函数 y = f ( x) 的最大值 即可得出实数 的取值范围.f ( x )，由题意得出 maxm2-3m f ( x)max，解此不等式【详解】x +7, x -3f ( x ) = x -1 -2 x +3 =-3x-5,-3 x 1.-x -7, x 1（1）当x -3时，由f ( x) =x +7 1，解得 x -6 ，此时 x -6 ；当-3 x 1时，由f ( x) =-3x -5 -2，此时 -2 x 1；当x 1时，由f ( x) =-x-7 -8，此时x 1.综上所述，不等式f ( x ) 1 的解集 ( -,-6) ( -2, +).（2）当x -3时，函数f ( x) =x +7单调递增，则f ( x) f ( -3) =4；当-3 x 1时，函数f ( x) =-3x -5单调递减，则f (1) f ( x ) f ( -3)，即-8 f ( x ) 4；当x 1时，函数f ( x) =-x-7单调递减，则f ( x) f ( -1) =-8.综上所述，函数y = f ( x )的最大值为f ( x )= f ( -3) =4 max，由题知，m2-3m f ( x)max=4 ，解得 -1m 4.因此，实数 m 的取值范围是 ( -1,4).【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的( ) 2 22 2 2 2 求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题.25（1）2 -,-4 , +3 5-3 5 5 - 5 ；（2） , 5+ 5 5 +3 5 , 【分析】（1）分3 -x 3 -x，得3 -x 3 -x，或3-x 02 x +1 3 ，解得得23x 3，解得 x 3 -x的解集为(-,-4)2 , +3 ；5x -x 2 -5（2）由 | 5 x -x | 5 ，得 5 x -x 2 5，解得5 -3 5 5 +3 5 5 - 5 5 + 5x ，解得 x 或 x2 2 2 2取交集，得 | 5 x -x2| 5 的解集为， 5 -3 5 5 - 5,2 25+ 5 5 +3 5 , 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属于 中档题26（1）c =-32a -b；证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导后，利用f(1) =-a2可得3c =- a -b2，将其代入到3a 2c 2b，利用不等式的性质可得-3 b 32 c 2b3a -3a -2 b 2 bb 3 -3 -a 4（2）a =-12，b =2，c32 f(x) =-1 3 x 2 +2 x -2 2令g ( x) =ln x +1 3x 2 -2 x + ( x 1) 2 2求导可得 g (x) =1 ( x -1)2 +x -2 =x xg(x)0g (x)在区间1,+)上单调递增 g (x)g(1)=0ln x f(x)成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.
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