(通用版)2021版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数5第5讲指数与指数函数教案理

nn 1 .第 5 讲 指数与指数函数1根式(1)根式的概念n假设 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子 a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫做被开方数a 的 n 次方根的表示：xna nx a，当n为奇数且nN*，n1时，x a，当n为偶数且nN*时.(2)根式的性质n( a)na(nN*，且 n1)a，n为奇数， an a，a0，|a| a，a0，m，nN*，且 n1)m负分数指数幂：a n man1(a0，m，nN*，且 n1) nam0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)(ar)sars(a0，r，sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象及性质函数图象yax(a0，且 a1)0a1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 .图象特征定义域值域在 x 轴上方，过定点(0，1)当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升R(0，)性单调性减增质函数值当 x0 时，y1变化规律当 x1； 当 x0 时，0y1当 x0 时，0y0 时，y1判断正误(正确的打“，错误的打“) 4(1) 444.( )n n (2) an与( a)n都等于 a(nN*)( )2 1(3)(1)4(1)2 1.( )(4)函数 y32x 与 y2x1都不是指数函数( )(5)假设 aman，那么 mn.( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)(教材习题改编)有以下四个式子：3 838； 10210；4 2 018 343； ab2 018ab. 其中正确的个数是( )A1C3B2D4解析：选 A.正确， 102|10|10，错误；434|3 | (3 ) 3 ，错误，2 018ab2 018|a b| ab， ba，当ab时，应选 A. 当ab时(2021东北三校联考)函数 f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点 A，以下函数中图象 不经过点 A 的是( )下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1 7 1 5 27252 3.Ay 1x Cy2x1By|x2| Dylog (2x)2解析：选 A.由 f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，又 0 11，知(1，1)不在 y 1x的图象上函数 f(x) 1ex的值域为_解析：由 1ex0，ex1，故函数 f(x)的定义域为x|x0所以 0ex1，1ex0，01ex1，函数 f(x)的值域为0，1)答案：0，1)(教材习题改编)假设指数函数 y(a21)x 在(，)上为减函数，那么实数 a 的取 值范围是_解析：由题意知 0a211，即 1a2 得 2a1 或 1a 2.答案：( 2，1)(1， 2)2，指数幂的化简与求值学生用书 P23典例引领化简以下各式：2 1 (1)0.027 22( 21)0；3 7 91 (2)a3b26 2 11(3a b1)(4a3b3)2 ab. 21 1 3 【解】 (1)原式 7 211 000 9 10 5 49 145.3 35 1(2)原式 a b 2 6 1 1 13(2a3b )a2b2 21 15 1 3 5 5 a b a2b2 b1 .4 2 2 4 4b下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。277 1 3 .提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式 力求统一通关练习41化简 16x8y4(x0，y0)得( )A2x2yC4x2y解析：选 D.因为 x0，y1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)假设方程|3x1|k 有一解，那么 k 的取值范围为_【解析】 (1)由 f(x)axb的图象可以观察出函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以0af(x)axb的图象是在 f(x)ax的根底上向左平移得到的，所以 b0.答案：(0，)2.假设本例(2)的条件变为：函数 y|3x1|k 的图象不经过第二象限，那么实数 k 的取 值范围是_解析：作出函数 y|3x1|k 的图象如下图由图象知 k1，即 k(，1答案：(，1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 a1 .3.假设将本例(2)变为函数 y|3x1|在(，k上单调递减，那么 k 的取值范围如何？ 解：由本例(2)作出的函数 y|3x1|的图象知，其在(，0上单调递减，所以 k( ，0指数函数图象的画法及应用(1) 画指数函数 y ax(a0 ，且 a1)的图象，应抓住三个关键点： (1 ， a) ，(0 ，1) ， 11， .(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、 翻折变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解通关练习1函数 f(x)1e|x|的图象大致是( )解析：选 A.将函数解析式与图象比照分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是( ，0，只有 A 满足上述两个性质2假设直线 y2a 与函数 y|ax1|(a0 且 a1)的图象有两个公共点，那么 a 的取值范 围是_解析：(1)当 0a1 时，y|ax1|的图象如图.因为 y2a 与 y|ax1|的图象有两个交1点，所以 02a1.所以 0a1 时，y|ax1|的图象如图，而 y2a1 不可能与 y|ax1|有两个交点综 1上，0a ，所以1 x 1 1 1 1 1 .题的形式出现高考对指数函数的性质的考察主要有以下三个命题角度： (1)比拟指数幂的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)研究指数型函数的性质典例引领角度一 比拟指数幂的大小2 11 4 1a3，b2 ，c3，那么以下关系式中正确的选项是( ) 2 3 2Acab CacbBbacDabc4 x 4 2 332 2 3 3 3 2213，即 bac.2【答案】 B 角度二 解简单的指数方程或不等式17，x0，设函数 f(x) 2 假设 f(a)1，那么实数 a 的取值范围是( )x，x0，A(，3) C(3，1)B(1，)D(，3)(1，)a a a 3【解析】 当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为71，即8，即 ，2 2 221因为 0 3，此时 3a0；当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1，即 20a1.故 a 的取值范围是(3，1)，应选 C.【答案】 C角度三 研究指数型函数的性质函数 f(x) 3ax24x3.(1)假设 a1，求 f(x)的单调区间；(2)假设 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)假设 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值1【解】 (1)当 a1 时，f(x)3x24x3 ，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。1 a 令 g(x)x24x3，.由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y3t在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增 区间是(2，)，单调递减区间是(，2)1(2)令 g(x)ax24x3，f(x)3gx，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，a0，因此必有3a4 1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.1(3)令 g(x)ax24x3，f(x)3由指数函数的性质知，gx，1 要使 y3gx的值域为(0，)应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为假设 a0，那么 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R) 故 f(x)的值域为(0，)时，a 的值为 0.有关指数型函数性质的常考题型及求解策略题型比拟幂值的大小解简单指数不等式探究指数型函数的性 质求解策略(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比拟大小.(2)不能化成同底数的，一般引入“1等中间量比拟大小先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等 式求解与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等 性质的方法一致通关练习下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。a x xb 1 x x x1 11函数 y( )x222x1 的值域是( ).A(，4) C(0，4B(0，) D4，)1解析：选 C.设 tx22x1，那么 y( )t.21因为 0 1，21所以 y( )t 为关于 t 的减函数2因为 t(x1)222，1 1所以 00 时，1bxax， 那么( )A0ba1 C1baB0ab1 D1a0 时，11.x因为 x0 时，b 0 时，1.a所以 1，所以 ab.b所以 1ba，应选 C.3函数 y9xm3x3 在区间2，2上单调递减，那么 m 的取值范围为_解析：设 t3 ，那么 y9 m3 3t2mtx2，2，所以 t，99 .又函数 y9xm3x3 在区间2，2上单调递减，即 yt2 m故有 9，解得 m18.2所以 m 的取值范围为(，18答案： (，18mt3 在区间，99 上单调递减，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2 1 2 13 .nnan与( a)n 的区别n(1) an是实数 an的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制n(2)( a)n 是实数 a 的 n 次方根的 n 次幂，其中实数 a 的取值由 n 的奇偶决定指数函数的图象与性质(1)利用性质判断根据指数函数 yax 的图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数值(正负)等 (2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小到大；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小与指数函数有关的复合函数的定义域、值域(1)yaf(x)的定义域就是 f(x)的定义域(2)求 yaf(x)和 yf(ax)的值域的解法形如 yaf(x)的值域，要先令 uf(x)，求出 uf(x)的值域，再结合 yau 的单调性求出yaf(x)的值域假设 a 的取值范围不确定，那么需要对 a 进展分类讨论：当 0a1 时，yau 为增函数形如 yf(ax)的值域，要先求出 uax 的值域，再结合 yf(u)的单调性确定 yf(ax)的 值域与指数函数有关的复合函数的单调性利用复合函数的单调性判断形如 yaf(x)的函数的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间 有关：(1)假设 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间(2)假设 0a0，a1)的图象和性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 或 0a1.(2)在解形如 a2xbaxc0 或 a2xbaxc0(0)的指数方程或不等式时，常借助换 元法解决，但应注意换元后“新元的范围21化简 4a3b a b3 3 3 的结果为( )下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3 bb b x 1 1 解 析：选 A.因为 f(x)3 ， 且定义域为 R，所以 f(x)3 1 x 1 x 1 x x .2aA6aC 22 1 1 2解析：选 C.原式4 a ( )b 33 3 3 3 6a6ab1 ，应选 C.b8aBD6ab12(2021高考北京卷)函数 f(x)3 3A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数x，那么 f(x)( )x x x3 3x x3 3x3 3f(x)，即函数 f(x)是奇函数又 y3x在 R 上是增函数，y3x在 R 上是减1函数，所以 f(x)3 3x在 R 上是增函数应选 A.3(2021湖北四市联考)函数 f(x)2x2，那么函数 y|f(x)|的图象可能是( )2x2，x1，解析：选 B.y|f(x)|2 2| 易知函数22x，x0，a1)满足 f(1) ，那么 f(x)的单调递减区间是( )9A(，2C2，)1 1解析：选 B.由 f(1) 得 a2 .9 9又 a0，B2，) D(，21 1 所以 a ，因此 f(x)3 3|2x4|.因为 g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是2，)10 26化简：2 222 (0.01)_5 41 11 4 1 1 2 1 1 1 16解析：原式1 2 21 1 .4 9 100 4 3 10 6 10 1516答案：157(2021陕西西安模拟 )假设函数 f(x)ax22a(a0，a1)的图象恒过定点x， 3，那么函数 f(x)在0，3上的最小值等于_解析：令 x20 得 x2，且 f(2)12a，所以函数 f(x)的图象恒过定点(2，12a)，1 1因此 x 2，a ，于是 f(x)3 3x2 ，f(x)在 R 上单调递减，故函数 f(x)在0，3 31上的最小值为 f(3) .31答案：38函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，那么 ab_a1b1，解析：当 a1 时，函数 f(x)a b 在1，0上为增函数，由题意得 无a0b0，解当 0a0，a1，bR)(1)假设 f(x)为偶函数，求 b 的值；(2)假设 f(x)在区间2，)上是增函数，试求 a，b 应满足的条件 解：(1)因为 f(x)为偶函数，所以对任意的 xR，都有 f(x)f(x)，即 a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得 b0.xb，xb，(2)记 h(x)|xb|xb，x1 时，f(x)在区间2，)上是增函数，即 h(x)在区间2，)上是增函数，所以b2，b2.当 0a1 且 b2.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 1 k k k k k 3 k k k k 3 5 k 2 5 k k k k k x 解 析：(m m)2 2 2 21 .11(2021河南濮阳检测 ) 假设“ma是函数“ f(x) 3xm 的图象不过第三象限 3的必要不充分条件，那么实数 a 能取的最大整数为( )A2 B1 C0 D12 2解析：选 B.因为 f(0)m ，所以函数 f(x)的图象不过第三象限等价于 m 0，即 m3 32 2 2 ，所以“ma是“m 的必要不充分条件，所以 a ，那么实数 a 能取的最大整 3 3 3数为1.2(2021高考全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，那么( )A2x3y5z C3y5z2xB5z2x3y D3y2x1，所以 xlog k，ylog k，zlog k.因为 2x3y2log k2 3 5 29log2 3 2log 33log 2 log 32log 23 83log k 0，所以 2x3y；log 2 log 3 log 2log 3 log 2log 3 log 2log 3k k k k k k k k3 5 3log 55log 3 log 53log 35因 为 3y 5z 3log k 5log k log 3 log 5 log 3log 5 log 3log 5 k k k k k k125log243log 3log 5k k2 50 ， 所 以 3y5z ； 因 为 2x 5z 2log k 5log k log 2 log 5k k25log2log 55log 2 log 52log 25 32 2x.所以 5z2x3y，应选 D. log 2log 5 log 2log 5 log 2log 5k k k k k k13假设不等式(m2m)2 2_x1 对一切 x(，1恒成立，那么实数 m 的取值范围是2 x 1x1可变形为 m2m1x1x2.设 t 2x，那么原条件等价于不等式 m2mtt2 在 t2 时恒成立显然 tt2在 t2 时的最小值为 6，所以 m2m6，解得2m3.答案：(2，3)x1，0xb0，假设 f(a)f(b)，那么 bf(a)的取值范围是2x ，x1， 2_下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 3 x x x .解析：画出函数图象如下图， 由图象可知要使 ab0， f(a)f(b)同时成立，1那么 b1.2bf(a)bf(b)b(b1)1b2bb 221 ，43所以 bf(a)2.4 答案：，24 2xb5定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数2x1a(1)求 a，b 的值；(2)解关于 t 的不等式 f(t22t)f(2t21)0.解：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，1b即 0，解得 b1，2a2 1所以 f(x) .2x1a1 121 2又由 f(1)f(1)知 ，解得 a2.4a 1a2 1 1 1(2)由(1)知 f(x) .2x12 2 2 1由上式易知 f(x)在(，)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数 f(x)在 R 上是 减函数)又因为 f(x)是奇函数，所以不等式 f(t22t)f(2t21)0 等价于 f(t22t)2t21 即 3t22t10.1 1解得 t1 或 t1 或 t ，2 16 8 4 不符合舍去；1当 2 时，4g(t) g()2 min3，1令231，得 2( 22 时，g(t) g(2)47，令471，得 2，不符合舍去min综上所述，实数 的值为 2.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。