第24章圆教案.doc

24.1.1 圆教学目标探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题教学难点圆的运动式定义方法课 堂 教 学 程 序 设 计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点图1学生活动设计：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形教师活动设计：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）图2学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆活动3：讨论圆中相关元素的定义如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 图3学生活动设计：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果教师活动设计：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？（课件：车轮；课件：方形车轮）学生活动设计：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流教师活动设计：引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定图4讨论完善讨论完善作业设计教科书P81：13教学反思2412 垂直于弦的直径教学目标探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题课 堂 教 学 程 序 设 计讨论完善一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1 图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理) 学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合因此AM=BM，=，同理得到教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OCAB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OCAB，则有AD=BD，且ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来解答设圆的半径为R，由条件得到OD=R4，AD=8，在RtADO中，即解得R10（m）答：此圆的半径是10 m活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法图4师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点解答1连接AB；2作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性讨论完善讨论完善作业设计教科书P83：12教学反思2413 弧、弦、圆心角教学目标通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明课 堂 教 学 程 序 设 计讨论完善一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的O和O，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在O和O上分别作相等的圆心角AOB和AOB，如图1所示，圆心固定注意：在画AOB与AOB时，要使OB相对于OA的方向与OB相对于OA的方向一致，否则当OA与OA重合时，OB与OB不能重合图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度使得OA与OA重合通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作 由已知条件可知AOBAOB；由两圆的半径相等，可以得到OABOBAOAB=OBA；由AOBAOB，可得到ABAB；由旋转法可知在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与OA重合时，由于AOBAOB这样便得到半径OB与OB重合因为点A和点A重合，点B和点B重合，所以和重合，弦AB与弦AB重合，即，AB=AB进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等2根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等师生活动设计：本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理活动2：如图2，在O中，ACB60，求证AOB=AOC=BOC学生活动设计： 图2学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析由，得到，ABC是等腰三角形，由ACB60，得到ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到AOB=AOC=BOC教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法证明 AB=AC，ABC是等腰三角形又 ACB60， ABC是等边三角形，AB=BC=CA AOB=AOC=BOC小结：弦、圆心角、弧三量关系讨论完善讨论完善作业设计P85：练习教学反思24.1.4 圆周角教学目标1了解圆周角与圆心角的关系2探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征3能运用圆周角的性质解决问题教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征教学难点发现并论证圆周角定理课 堂 教 学 程 序 设 计讨论完善活动1 演示课件或图片：问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题教师结合示意图，给出圆周角的定义利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、等）之间的大小关系教师引导学生进行探究讨论完善活动2问题1 同弧（弧AB）所对的圆心角AOB 与圆周角ACB的大小关系是怎样的？问题2 同弧（弧AB ）所对的圆周角ACB 与圆周角ADB 的大小关系是怎样的？ 教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现1拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2改变圆心角的度数；3改变圆的半径大小讨论完善活动3问题1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论教师巡视，请学生回答问题回答不全面时，请其他同学给予补充教师演示圆心与圆周角的三种位置关系教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论学生写出已知、求证，完成证明学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化讨论完善活动4 问题1 半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）问题2 90的圆周角所对的弦是什么?问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ABC=30ABC=30问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？问题5如图，点、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？问题6如图， O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，ACB 的平分线交O于 D，求BC、AD、BD的长学生独立思考，回答问题，教师讲评问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数问题2提出后，教师关注：学生是否能由90的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180，从而得出所对的弦是直径问题3提出后，教师关注：学生能否得出正确的结论，并能说明理由教师提醒：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等问题5提出后，教师关注：学生是否准确找出同弧所对的圆周角问题6提出后，教师关注：1学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2学生能否将要求的线段放到三角形里求解；3学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD讨论完善活动5问题 通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容讨论完善作业设计教科书P88：练习教学反思24.2.1点和圆的位置关系教学目标理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上的三点画圆的方法。教学重点（1）点和圆的三种位置关系，（2）过三点的圆。教学难点点和圆的三种位置关系及数量关系。课 堂 教 学 程 序 设 计讨论完善（一）创设情境 导入新课活动一：观察CBAOr我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？活动二：问题探究问题：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外AOPPPr问题：设O半径为r,说出来点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：OA r问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有： 点P在圆内dr（二）合作交流 解读探究活动三你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好.活动四：探究（1）如图，做经过已知点A的圆，这样的圆你能做出多少个？BA（2）如图做经过已知点A、B的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？思考经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？L2L1OCBA分析：如图 三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直的平分线上，又要在线段BC的垂直的平分线上1分别连接AB、BC、AC2分别作出线段AB的垂直平分线l1和l2，设他们的交点为O ，则OA=OB=OC；3以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过A、B、C的圆由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即：课堂小结：不在同一条直线上的三点确定一个圆经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心讨论完善作业设计教科书P95：13教学反思24.2.2 直线和圆的位置关系教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系3能利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系教学重点探索并了解直线和圆的位置关系教学难点掌握识别直线和圆的位置关系的方法问题与情境师生行为讨论完善活动1(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？(2)观察用钢锯切割钢管的过程，抽象成几何图形间的位置关系.学生观察一轮红日从海平面升起的过程和用钢锯切割钢管的过程，教师提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象成几何图形，再表示出来 在本次活动中，教师应重点关注：(1) 学生能否准确地观察出圆相对于直线运动的过程中，有几种位置关系；(2) 学生能否根据直线和圆的公共点个数，画出三种不同的位置关系.活动2请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况.教师演示直线和圆动态的变化过程，帮助学生用语言描述直线和圆的三种位置关系，明确概念.教师应重点关注学生能否根据操作，观察直线和圆的位置关系，作出相应的图形活动3问题：(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？(2) 是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？教师提出问题，学生思考作答.学生掌握识别直线与圆的位置关系的方法，即直线和圆公共点的个数，圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，都可以用来揭示直线和圆的位置关系讨论完善活动4(1)应用 例 已知：如图所示，AOB=30，P为OB上一点，且OP=5 cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？R=2 cm；R=2.5 cm； R=4 cm(2) 练习师生共同完成例题和练习的求解本次活动，教师应重点关注：(1) 学生能否利用直线和圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系；(2)学生能否利用圆心到直线的距离和半径间的数量关系判断直线和圆的位置关系活动5小结这节课我们主要研究了直线和圆的三种位置关系和识别直线和圆的位置关系的方法，你有哪些收获？学生自己总结，教师应重点关注：(1) 学生对直线和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性 作业设计教科书P96：练习 P98：练习1-2P100：练习1-2教学反思243 正多边形和圆教学目标1 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念2在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题教学重点探索正多边形与圆的关系，了解的有关概念，并能进行计算教学难点探索正多边形与圆的关系教学过程设计讨论完善活动1观看下列美丽的图案问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？教师演示课件或展示图片，提出问题1学生观察图案，思考并指出找到的正多边形 教师关注：（1） 学生能否从这些图案中找到正多边形；（2） 学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系教师提出问题2，引导学生观察、思考学生讨论、交流，发表各自见解活动2问题1将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析教师带领学生完成证明过程教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题教师提出问题3，学生讨论，思考回答教师关注：（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形教师讲评讨论完善活动4 小结 学完这节课你有哪些收获？学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度作业设计教科书习题24.3P108：1-8教学反思24.4圆锥的侧面积和全面积教学目标会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题教学重点圆锥的侧面积和全面积的计算教学难点明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系教学过程设计讨论完善活动1想一想，你会解决吗？如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，PB=15 cm，底面半径r =5 cm，要生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？ APBOrl.教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情活动2 1认识圆锥 2圆锥的再认识3圆锥的底面半径r、高线h、母线长a三者之间的关系：练习： 根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）(1)a = 2，r = 1，则 h =_；(2)h = 3，r = 4，则 a =_；(3)a =10，h = 8，则 r =_教师结合图形，介绍圆锥的有关概念通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系讨论完善活动31动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握圆锥的侧面展开图是扇形2引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公式通过学生动手操作、教师利用几何画板动态演示，活动4 实际应用：例1一个圆锥形零件高4 cm，底面半径3 cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积例2 玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15 cm，底面半径为5 cm，生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，取3.14 ）例3 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35 m2，高为3.5 m，外围高1.5 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡 (精确到1m2) ?教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握 课堂小结：本节课你学到了什么知识？你有什么认识？作业设计教科书P113：练习1-3教科书P114：练习1-2教科书P115：1-11教学反思21第二十四章 圆 第 页