《三重积分计算法》PPT课件.ppt

第三节 三重积分的计算法 一、利用直角坐标计算三重积分 二、利用柱面坐标计算三重积分 三、利用球面坐标计算三重积分 ( , , )f x y z d v 其 中 是 空 间 有 界 闭 区 域 . 可以用 直角坐标、柱面坐标 和 球面 坐标 来计算 . 计算方法是将 三重积分化为三次积分 . 三重积分 ( , , ) G f P d g f x y z d v 一、 利用直角坐标计算三重积分 dv dx dyd z ( , , ) ( , , )f x y z d v f x y z d x d y d z 即 用平行于坐标面的平面族： 常数常数，常数， zyx 去分割积分区域 , 除边界外每个小块都 是一个长方形，于是得到体积元素 12, , ,z z x y z z x y 设 如图 ,将 向 xoy面投影 ， 得 ,以 的边界为准 线母线平行于 z轴的柱面 把 分为下上两个边界： xyD xyD ( , )xy xyD 1z 2z 1()y y x 2 ()y y x a b 1S 2S 1 ( , )z z x y 2 ( , )z z x y 1 2 , , , , xyx y D z z x y z x y 从 变 到 y z x O 12: , , , , xyz x y z z x y x y D 于是 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) xy z x y z x y D f x y z dv f x y z dz dx dy 则 12: , , , , xyz x y z z x y x y D 积分区域可表示为 (先一后二） 根据 D是 X型域或 Y型域确定二重积分的 积分限，就得到三重积分公式 . 22 11 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) b x z x y a x z x y f x y z d v d x d y f x y z d z 若 D为 X型域，则有 这是先对 z，次对 y，最后对 x的三次积分 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) xy z x y z x y D f x y z d v f x y z d z d x d y xdv 例 1 计算 ,其中 为三个坐标面 及平面 x 2y z 1所围成的区域。 x y z O (0,0,1)C 1(0, ,0)2B (1,0,0)A xyD : 0 1 2 , , xyz x y x y D : 0 1 2 , , xyz x y x y D 解 在 xoy面上的投影为 xyD 若 看成 X型域，则 xyD 1 2 xy 12z x y ,xy 1 23 0 11 ( 2 ) 4 4 8 x x x d x 1 0 : 0 1 2 , : 2 01 xy x y z x y D x 12 0 xy D x d v d x d y x d z 11 1 2 2 0 0 0 x xy d x d y x d z 11 2 00 ( 1 2 ) x x d x x y d y 例 2 将 化为直角坐标系下的 三次积分，其中 是由平面 x y z 1， x y 1， x 0， y 0， z 1围成的区域。 ( , , )f x y z dv 的下底是 x y z 1， 上底是 z 1， x0 y 1xy xyD 1 解 的投影 是 x+y=1， x=0， y=0围成的三角形域 ， xyD 1 1 ( , , ) ( , , ) xy xy D f x y z dv dx dy f x y z dz 1 1 1 0 0 1 ( , , )x xy d x d y f x y z d z 01 : 1 1 , : 01xy yx x y z D x x0 y 1xy xyD 1 2）截面法（先二后一） 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) z x y z x y D f x y z d v f x y z d z d x d y 1）投影法（先一后二） 计算三重积分时，先求一个二重积 分，再求一个定积分的方法 设区域 的 z值的最大值 过 内任一点 z，作水 平平面与 交出截面 就 是二重积分的积分区域 . ZD， 12,cc 和最小值为 和 ， 1c 2c x y z O zDz 1c 2c 先在 上对 x,y积分然后在 上对 z积分 . 12,cczD 2）截面法（先二后一） 12: , ,Zx y D c z c 这样得到 2 1 ( , , ) ( , , ) z c c D f x y z d v d z f x y z d x d y 先求出 上的二重积分再求定积分 . ZD 12: , ,Zx y D c z c 先二后一 此法常用于 上的二重积分易求的情形 zD 例 3 计算 ，其中 是由椭球 面 所围成的空间闭区域。 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c 2z d x d ydz c z c 2 2 2 2 2 2: 1 -z x y z D c z c a b c （ ) 解 z的最小值和最大值为 和 ，即 cc a b c x y z O 0D zD c z 2 2 2 zz cc DD z dxd y dz dz z dxd y z dz dxd y 的面积为 z z D d x d y D 2 2 2 2 2 21 1 ( 1 ) z z z a b ab c c c 2 22 2( 1 ) c c z z d x d y d z z a b d z c 4 23 2 4 () 15 c c z a b z d z a b c 二 用柱面坐标计算三重积分 z O x y ( , )P z 在 xoy面上 就是极坐标 . , 设 M（ x,y,z）为空间 一点，如果将 x， y， z 改用另外三个数 来表示，则称 为点 M 的 柱面坐标 。 z, , z（ ） ( , , )M x y z 三组坐标面 ： 柱面与直角坐标的关系是 ( , )P z O z x y ( , , )Mz z 常数 （ 水平平面 ） 常数 （ 半平面 ） 常数 （ 圆柱面 ） ( , , )M x y z 由图可知 zz c o sx s i ny ( 0 , 0 2 , )z ),( yxP 三组坐标面族 去分割空间区域 ，其任 一小块的体积 可以 近似 看成以 为底， 为高的柱体体积。 v dz dd 体积元素 d v d d d z ( , , ) c o s , s in , )f x y z d v zfz d d d （ d x y z o dz d d ( , , ) ( c o s , s in , )f x y z d v f z d d d z 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( c o s , s i n , ) D f x y z d v d d f z d z 因此 12: , , , , xyz x y z z x y x y D 设 则积分区域在柱面坐标系下的表示为： 12: , , , ,zD 在柱面坐标系下 区域由直角变为柱面坐标表示 则三重积分化为柱面坐标的三次积分 ： 若 12:,D 22 11 ( , ) ( , ) ( , , ) ( c o s , sin , ) f x y z d v d d f z d z 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( c o s , s i n , ) D f x y z d v d d f z d z 例 4 计算 其中 是由上半球面 和旋转抛物面 ,z dv 2 2 2 4x y z ( 0 )z 22 3x y z 所围成的区域 . 解 将积分区域 向 xoy面投影，得 22:3 xyD x y 2 2 034 - , : , 3 02 zD ： 22 22 22 4, 3 :3 xy xy z x y D x y ： xyD 22 3 xyz 224z x y 2 3 z 柱面坐标 24z z x yO z d v z d d d z 2 24 - , 0 3 , 0 2 3 z ： 423 2 00 1 ( 4 ) 29 dd 46 23 0 2 4 5 4 2 2 2 3 4 00 3 d d z dz 13 4 例 5 计算 其中 是由曲面 与平面 围成的区域 . ,z d x d y d z 22z x y 4z 解 在 xoy面上的投影区域为圆域 : 22:4 xyD x y 0 2, 0 2 2z x z y 22z x y D 4z 2: 4 , 0 2 , 0 2z 所以 2 4 D z d x d y d z d d z d z 2 2 2 4 00 d d z d z 22 2 00 1 ( 1 6 ) 2 dd 2 22 0 1 6 4 2 8 2 6 3 2: 4 , 0 2 , 0 2z 22()I x y d v 例 6 计算 其中 2 2 2 , 0 , 0 0 x y z x y z a a 由 锥 面 和 所 围 成 第 一 卦 限 部 分 . 解 采用柱面坐标 x D y z a za 222 zyx ,z : , , ,z a D 0 , 0 2 a 22 00 aa d d dz 3 0 () 2 a ad 45 2 4 5 aaa 5 . 40 a : , 0 , 0 , 2 z a a 22()I x y d v 问题 2 2 2 0 x y z z a a 由 锥 面 和 所 围 成 . 若例 6中的积分区域改为 则 22( ) ?x y d v 答 由对称性，有 2 2 2 2( ) 4 ( )I x y d v x y d v y z a 思考题 在柱面坐标系下求三重积分可以看作 在直角坐标系对 作单积分，然后在投 影区域 上用极坐标作二重积分呢？ z xyD 答：可以 三、用球面坐标计算三重积分 设 M(x,y,z)为空间一点， 如果将 x, y, z 改用另外 三个数 r， ， 来表示 , 则称 (r， ， )为点 M 的 球面坐标 。 x y z P x O y z M r 常数（球面族）r 常数（圆锥族） 常数（半平面） ( 0 , 0 , 0 2 ) r 球面坐标与直角坐标的关系是 si n c os si n si n c os xr yr zr x O y z x y z r A P M sinO P r ( 0 , 0 , 0 2 ) r 分割空间区域 ，其任一小块的体积 v 可以近似地看成是 长为 、 宽为 、 高为 的长方体体积 rd si nrd dr d r x y z o dr dsinrrd d d sinr 2 s i nv d v r d r d d 积分元素 dr rd sinrdsi n 2 s i nd v r d r d d 体 积 元 素 2( , , ) ( , , s) inf x y z d v F r r d r d d 其中 ( , , ) ( s in c o s , s in c o s , c o s )F r f r r r 一般将右端的形式化为先对 r、次 对 、最后对 的三次积分来计算。 三重积分在球面坐标系下的形式： 一般地，空间区域 包含原点在其内 部，边界曲面为 则有 , ,rr (2 ) 2 0 0 0 , , ( , , ) sin r f x y z dv d d F r r dr 例如 当 为球面 时 2 2 2 2x y z a 2 2 0 0 0 ( , , ) s i n a d d F r r d r ( , , )f x y z d v ra球 面 方 程 ： 例 7 求半径为 的球面与半顶角 为 的内接圆锥 面所围成的立体 的体积 (如图 ). a Ox y z 2a r M 解 根据积分性质： 的度量， G d g G V d v 有 将 用球面坐标表示 成不等式： 0 2 c o s , 0 02 ra Ox y z 2a r M 2 s inV d v r d r d d 2 2 c o s 2 0 0 0 s i n ad d r d r 3 2 3 00 8 s in c o s 3 a dd 3 44 ( 1 c o s ) 3 a 2 2 c o s 2 0 0 0 s i n a d d r d r 思考题： 球面方程 柱面 球面 2 2 2 2x y z a 2 2 2za ra 柱面方程 222x y b sinrb b 直角 坐 标 系 1.填写下表中的空格： 2. 计算重积分应怎样选择合适的坐标系？ 应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？ （ 1）积分区域 （ 2）被积函数 积分区域边界的 表达式简单，便 于定限 被积函数的表达 式简单，便于积 分 相对而言，便于积分更重要一些 . 小 结 1.柱面坐标系下 两种坐标系下三重积分的计算 由柱面与直角坐标的关系 c os si n ( 0 , 0 2 , ) x yz zz 有 ( , , ) ( c o s , s in , )f x y z d v zf dz dd 体积元素 22 11 ( , ) ( , ) ( , , ) ( c o s , sin , ) f x y z d v d d f z d z 若 12: , ,D 则 2 2 2: xyD x y R 且被积函数含有 常用极坐标 22 , yxy x 的侧面由圆柱面或 常用柱坐标 2.球面坐标 由球面坐标与直角坐标的关系： si n c os 0 si n si n , 0 c os 0 2 x r r yr zr 2( , , ) ( , , s) inf x y z d v F r r d r d d 三重积分在球面坐标系下的形式 ： 体积元素 其中 ( , , ) ( s in c o s , s in c o s , c o s )F r f r r r 一般地，空间区域 包含原点在其内 部，边界曲面为 则有 , ,rr (2 ) 2 0 0 0 , , ( , , ) sin r f x y z dv d d F r r dr 当 的边界由球面、锥面等围成，且 被积函数中含有 2 2 2 2 2,x y z x y 常用球面坐标 作 业 p.106 习题 9-3 1.(1); (3); 2. 9. 10. 11.(1);(2);(3); 12.(1).