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一、不定积分的第一类换元法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法三、根本积分表三、根本积分表 (2)(2)问题问题 xxd2cos,2sinCx 处理方法处理方法利用一阶微分方式不变性利用一阶微分方式不变性.解解 xxd2cos.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法 xxxd)2(2cos21 )2(d2cos21xx?在普通情况下：在普通情况下：设设),()(ufuF 那那么么.)(d)(CuFuuf假设假设)(xu 可微可微xxxfxFd)()()(d CxFxxxf)(d)()()(d)(xuuuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理定理定理1 1 设设 f(u)f(u)具有原函数具有原函数 F(u),u=F(u),u=(x)(x)有延续有延续 导数导数,那么有换元公式：那么有换元公式：xxxfd)()()(d)(xuuuf .)(CxF 不定积分的第一类换元法不定积分的第一类换元法 凑微分法凑微分法.阐明阐明 运用此公式的关键在于将运用此公式的关键在于将 xxgd)(化为化为.d)()(xxxf 例例1 1 求以下不定积分求以下不定积分.d)21(1)12 xx.d531)2 xx.d)312xex 普通地普通地 xbaxfd)()0(d)(1 auufa baxu令令.)21(21Cx 原原积积分分.53ln51Cx 原积分原积分.2112Cex 原积分原积分4)解解xxxd12 .)1ln(212Cx )1(d112122 xx.d1)42xxx 5)解解 xxxd12)1(d112122xx .12Cx .d1)52xxx 例例 求求.d2sin xx解法解法1 xxd2sin )2(d2sin21xx;2cos21Cx 解法解法2 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx ;sin2Cx 解法解法3 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx .cos2Cx 察看重点不同，所得结论方式能够不同察看重点不同，所得结论方式能够不同.例例2 2 求求.d122xxa 解解xxad122 xaxad11122 )(d)(112axax .arcsinCax .arcsind122Caxxxa 例例3 1)3 1)求求.)0(d122 axxa.)0(arctan1d122 aCaxaxxa.d2581)22xxx .34arctan31Cx 原原积积分分例例4 1)4 1)求求.d122 xax.ln21d122Caxaxaxax 2)求求.d2312xxx .12lnd2312Cxxxxx 思索：求不定积分思索：求不定积分).0(d12 axcbxax求求),(12为为常常数数badxbaxx .42的符号确定的符号确定可由可由ba ,042 badxnmxdxbaxx 22)(11,042 badxmxdxbaxx 22)(11,042 badxnxmxdxbaxx )(112例例5 5 求求解解 xxxdcossin.dtan xx xxdtan )cos(dcos1xx.coslnCx 同理可得同理可得 )(cosdcos1xx(运用了三角函数恒等变形运用了三角函数恒等变形).sinlndcotCxxx .coslndtanCxxx 例例6 (1)6 (1)求求.dsec xx.tanseclndsecCxxxx 类似地可推出类似地可推出.cotcsclndcsc Cxxxx(2)求求.dsec4 xx.tantan31dsec34Cxxxx 例例7 7 求以下不定积分求以下不定积分.dcos)12 xx.dcos)23 xx.dcos)34 xx.2sin4121Cxx 原原积积分分.sin31sin3Cxx 原积分原积分.4sin3212sin4183Cxxx 原原积积分分例例8 8 求求解解.dcossin52 xxx xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 阐明阐明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例9 9 求求解解.d2cos3cos xxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cos.5sin101sin21Cxx ),cos()cos(21coscosBABABA 例例10 10 求求解解.dsin12sin2 xxx xxxdsin12sin2 xxxxdsin1cossin22.)sin1ln(2Cx )(sindsin1122xx(运用三角函数恒等变形运用三角函数恒等变形)例例11 11 求求解解.dcossin12 xxx xxxdcossin12 xxxxxdcossincossin222xxxxdsin1cossin2 xxxxdcsc)(cosdcos12.cotcsclnsecCxxx 例例12 (1)12 (1)求求.d1arctan2xxx .)(arctan212Cx 原积分原积分(2)求求.d11arctanxxxx .)(arctan2Cx 原原积积分分例例13 13 求以下不定积分求以下不定积分.d1)2 xeexx.d11)3 xex.d1)1212 xexxx.21Cex 原积分原积分.)1ln(Cex 原原积积分分.)1ln(Cex 原原积积分分例例14 14 求求.d)1(100 xxx解解 xxxd)1(100 xxxd)1)(11(100 )1(d)1()1(100101xxx.101)1(102)1(101102Cxx 例例15 15 求求.d111 xxx原式原式 xxxxd121d121 )1(d)1(21)1(d)1(212121xxxx.)1(31)1(312323Cxx xxxd211解解例例16 (1)16 (1)求求.d)ln21(1 xxx.ln21ln21d)ln21(1Cxxxx (2)求求.d)ln(ln12 xxxx.lnCxxx 原积分原积分小结小结:第一类换元积分第一类换元积分(凑微分凑微分)是把被积函数是把被积函数中的某个函数看做一个新变量中的某个函数看做一个新变量.;d)(.11 xxxfnn;d)(.2 xxxf;d)(ln.3 xxxf;d1)1(.42 xxxf;dcos)(sin.5 xxxf;d)(.6 xaafxx凑微分法常见类型凑微分法常见类型:;dsec)(tan.72 xxxf;d1)(arctan.82 xxxf练习：练习：求以下不定积分求以下不定积分.d2arcsin41.12 xxx.d2sec1.22 xx.d)4(1.3 xxx.d)1(1.4 xxexxx.d)1(1.5322 xxxx.dsin2sin12sin.622 xxxx解解.d2arcsin41.12xxx )2(d2arcsin2112xxx 原原积积分分)2(arcsind2arcsin1xx .2arcsinlnCx 解解.d2sec1.22 xxxxd2sec12 xxxdcos21cos2 )d(sinsin312xx Cx )sin32arcsin(21解解.d)4(1.3 xxx 原积分原积分.2arcsin2Cx 原积分原积分.22arcsinCx xxd)(2222 xxd)2(2122 .d)1(1.4 xxexxx解解 xxexeexxxxd)1()1(原积分原积分 )(d)1(1xxxxexexe xxeu令令 uuud)1(1 uuu)d111(Cuu 1ln.1lnCxexexx 解解 xxxxd11122原原积积分分 21xu令令 uud11Cu 12.1122Cx .d)1(1.5322 xxxx解解 )(sindsin2sin1222xxx原积分原积分 xu2sin令令 uuud21Ctt arctan22.dsin2sin12sin.622 xxxx ut1令令 tttd1222.sin12sin1222Cxx 问题问题?d125 xxx处理方法处理方法改动中间变量的设置方法改动中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,dcosdttx xxxd125 ttttdcossin1)(sin25 tttdcossin25(运用运用“凑微分即可求出结果凑微分即可求出结果)二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法定理定理2 2 设设 x=x=(t)(t)是单调可导函数是单调可导函数,且且 (t)(t)0 0 延续延续,那么有换元公式：那么有换元公式：xxfd)()(1d)()(xttttf .)()(1的反函数的反函数是是其中其中txxt 不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法.例例1 1 求求解解.)0(d22 axxa 2,2,sin ttax令令,dcosdttax xxad22 ttatadcoscos ttad22cos12tax22xa ttadcos22Ctta )2sin21(22.21arcsin2222Cxaxaxa 例例2 2 求求解解.)0(d122 axax 2,2,tan ttax令令,dsecd2ttax xaxd122 ttatadsecsec12 ttdsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22ln.ln)ln(22Caaxx .)ln(22Caxx 例例3 3 求求解解.)0(d122 axax 2,0,sec ttax令令,dtansecdtttax xaxd122 tttatadtansectan1 ttdsecCtt tanseclntax22ax Caaxax 22lnCaaxx ln)ln(22.)ln(22Caxx 2,0,sec ttax再再令令,dtansecdtttax xaxd122 ttattadtantansec ttdsecCtt tanseclnCaaxax 22lnCaxax lnln22.ln22Caxx .lnd12222Caxxxax 阐明阐明(1)(1)以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.普通规律如下：当被积函数中含有普通规律如下：当被积函数中含有,)1(22xa 可令可令,sintax ,)2(22xa 可令可令,tantax ,)3(22ax 可令可令,sectax 2,2t 2,2t 2,0 t阐明阐明(2)(2)积分中为了化掉根式能否一定采用积分中为了化掉根式能否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定况来定.例例4 4 求求xxxd125 21xt 令令,122 tx,ddttxx 解解xxxd125 ttttd)1(22 tttd)12(24 Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 例例5 5 求求解解.d11 xexxet 1令令,12 tex,d12d2tttx xexd11 ttd122 tttd1111 Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx阐明阐明(3)(3)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 (其中其中 n n 为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数).).lkxx,ntx 例例6 6 求求.d)1(13 xxx解解令令6tx ,d6d5ttx xxxd)1(13 ttttd)1(6235 tttd1622 ttd11162Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 阐明阐明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例8 8 求求.d)2(17 xxx令令tx1,d1d2ttx xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解阐明阐明(5)(5)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换换 外还可用双曲代换外还可用双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式.例例 中中,令令xaxd122 taxsinh ttaxdcoshd xaxd122 ttatadcoshcosh CttdCax arsinh.ln22Caaxax .)ln(22Caxx 三、根本积分表(2)P182;coslndtan)16(Cxxx ;sinlndcot)17(Cxxx;tanseclndsec)18(Cxxxx;cotcsclndcsc)19(Cxxxx;arctan1d1)20(22Caxaxxa ;ln21d1)22(22Cxaxaaxxa ;arcsind1)23(22Caxxxa ;)ln(d1)24(2222Caxxxax ;ln21d1)21(22Caxaxaxax .lnd1)25(2222Caxxxax 例例 求以下不定积分求以下不定积分.d11)12 xxx.d11)22 xxx.11ln)12Cxx 原原式式.1arccos)2Cx 原式原式例例 1)1)解解.d112xxx xxxd112ttttdsectansec2 ttdtansectt1x12 x ttdsin1 tt dcsc.cotcsclnCtt .11ln2Cxx 2,2,tan ttx令令,dsecd2ttx 例例 2)2)解解.d112xxx xxxd112tttttdtansectansec tdCt .1arccosCx 2,0,sec ttx令令,dtansecdtttx 四、小结四、小结1.两类积分换元法：两类积分换元法：(一一)凑微分凑微分(二二)三角代换、根式代换三角代换、根式代换2.根本积分表根本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.;d)(.11 xxxfnn;d)(.2 xxxf;d)(ln.3 xxxf;d1)1(.42 xxxf;dcos)(sin.5 xxxf;d)(.6 xaafxx凑微分法常见类型凑微分法常见类型:;dsec)(tan.72 xxxf;d1)(arctan.82 xxxf思索题思索题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思索题解答思索题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、填空题：填空题：1 1、若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、dxx_)1(2xd；5 5、dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、xdx_ _ _ _ _)ln53(xd；练练 习习 题题7 7、291xdx=_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd；9 9、dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .二二、求求下下列列不不定定积积分分：（第第一一类类换换元元法法）1 1、dxxaxa；2 2、)ln(lnlnxxxdx；3 3、221.1tanxxdxx；4 4、xxeedx；5 5、dxxx321；6 6、dxxxx4sin1cossin；7 7、dxxxxx3cossincossin；8 8、dxxx2491；9 9、dxxx239；10 10、)4(6xxdx；1111、dxxxx)1(arctan ；12 12、dxxexxx)1(1；1313、dxxx2arccos2110；14 14、dxxxxsincostanln.三、三、求下列不定积分：求下列不定积分：（第二类换元法）（第二类换元法）1 1、21xxdx；2 2、32)1(xdx；3 3、xdx21；4 4、dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan,求证：求证：21tan11 nnnIxnI ,并求并求 xdx5tan.练习题答案练习题答案一、一、1 1、CuF)(;；2 2、taxsec 或或taxcsc；3 3、t1；4 4、21；5 5、-2-2；6 6、51；7 7、31；8 8、；9 9、Ct cos2；10 10、Cxaaxaxa )(arcsin22222.二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin；2 2、Cx lnlnln；3 3、Cx )1ln(cos2；4 4、Cex arctan；5 5、Cx 233)1(92；6 6、Cx )arctan(sin212；7 7、Cxx 32)cos(sin23；8 8、Cxx 44932arcsin212；9 9、Cxx )9ln(29222；1 10 0、Cxx 4ln24166；1 11 1、Cx 2)(arctan；1 12 2、Cxexexx )1ln()ln(；1 13 3、Cx 10ln210arccos2；1 14 4、Cx 2)tan(ln21.三、三、1 1、Cxxx )1ln(arcsin212；2 2、Cxx 21；3 3、Cxx )21ln(2；4 4、)2(22arcsin32xaxaaxa +Cxaxxa )2(2.
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