指数函数及其性质

指数函数及其性质指数函数及其性质Steve TangSteve Tang假定有一张无限大的纸，厚为0.1mm，若可以无限对折。那么它对折27次之后，它的厚度将超过喜马拉雅山的高度8848km；对折42次之后，厚度将超过地球到月球的距离380000km。一、折纸问题一、折纸问题如果把这张纸的面积看成一个单位面积，它的厚度看成一个单位长度。对折次数对折后的厚度对折后的面积 1 2 3 1222212（）32312（）*()x xN12xy 212xy （）2二、概念二、概念1，我们在定义一个函数的时候，往往会对参数进行一些限制。比如：一次函数 二次函数 (0)ykxb k2(0)yaxbxc a那么我们在研究指数函数 的时候，对于参数 需不需要作一些限制呢？xyaa1a 1y 无研究必要0a 0 x xa当时无意义0a x*1()2nNn12(1)取无意义，比如：无意义一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是R.(01)xyaaa且x2，定义例1：判断下列函数是否为指数函数.5(1)yx(2)(5)xy (3)2xya(4)52xy 2(5)5xy(6)5xy 图像图像特征 图像分布在一、二象限，与y轴相交，在x轴上方 过定点（0，1）第一象限的点纵坐标都大于1第一象限的点纵坐标都大于0且小于1第二象限的点纵坐标都大于0且小于1第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右，图像逐渐上升从左向右，图像逐渐下降1a 01a三、指数函数图像及性质三、指数函数图像及性质 图像性质 定义域为R，即 值域 过定点（0，1）X0时，y1X0时，0y1X0时，0y1X1在R上是增函数在R上是减函数1a 01a(,)(0,)特别地，1.对于多个指数函数图像在同一个直角坐标系中，第一象限内，底数越大的图像越靠近y轴。2.的图像与 的图像关于y轴对称。xya1()xya例1.已知指数函数 的图像经过点 求 的值()xf xa(0,1)aa且(3,)(0),(1),(3)fff 例2.比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.7,1.70.10.2(2)0.8,0.80.33.1(3)1.7,0.9四四.指数幂比较大小的三种类型及求解技巧指数幂比较大小的三种类型及求解技巧213211(1)(),()550.50.6(2),(0,1)aaaa且 此类型比较大小问题，要先选定相关的指数函数，再确定其单调性，然后依据单调性比较大小。当底数为参数时，要注意对其进行分类讨论。1.类型一 “同底不同指”型 2.类型二 “同指不同底”型 556638(),()11331bbaa 1bbaa 解法一：作商法解法二：图像法 此类比较大小问题，解法一采用作商法，并结合指数函数的性质解答。要注意作商前要先对两个幂的符号进行判断。不同号时，正大负小；同号时，若同为正1bbaa 1bbaa 则由；若同为负，则 。解法二采用图像法，应注意指数函数底数对图像位置的影响。3.类型三 “不同底不同指”型2534(1)2,(0.5)(2),(01)baa bab此类比较大小问题，一般采用中间值法，结合指数函数性质来判定大小关系，常用的中间值一般为0，1等中间数值。思考题：比较下列各数的大小(,0;0,1)xykakRkaa且且12211103333322232355(),(),3,(),(),(),(2),()355263五、指数型函数五、指数型函数形如的函数就叫做指数型函数。