对面积的曲面积分9课件

对面积的曲面积分(9)1第四节 对面积的曲面积分Chapter 11一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分(9)2弧段为弧段为AB,其线密度为其线密度为),(yx kkks),(nk 10limM此构件的质量为此构件的质量为曲线形曲线形构件在平面所占构件在平面所占一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设设曲面形曲面形构件具有连续面密度构件具有连续面密度),(zyx求质求质 量量 M.Oxyz),(kkkkkkkS),(nk 10limM其中其中,表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两曲面的直径为其上任意两最大值最大值点间距离的最大者点间距离的最大者).).对面积的曲面积分(9)31.1.定义定义 所谓所谓曲面光滑曲面光滑即曲面上各点处都有切平面即曲面上各点处都有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面),(lim(10iiiniiSf 对面积的曲面积分(9)4SzyxMd),(据此定义据此定义,曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为SSd1.1.定义定义叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面),(lim(10iiiniiSf 对面积的曲面积分(9)5则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续,对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似.积分的存在性积分的存在性.若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面对面积的曲面积分(9)6定理定理:设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在在 上连续上连续,存在存在,且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分证明证明:由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limOxyzyxD),(kkk yxk)(对面积的曲面积分(9)7kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22 yxkkkykkxzz)(),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122 0lim nk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122 yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf ),(,(kkkkzf Szyxfd),(而而(光滑光滑)OxyzyxD),(kkk yxk)(证明证明:由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10lim 对面积的曲面积分(9)8;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),(),(:.1yxzz 若曲面若曲面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),(),(.3zyxx：若若曲曲面面则则),(:.2zxyy 若若曲曲面面类似也有:对面积的曲面积分(9)9yxD例例1.计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的顶部截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO对面积的曲面积分(9)10思考思考:若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z=h 截截出的上下两部分出的上下两部分,)(dzS)(dzS04lnhaa则则hhxzyO对面积的曲面积分(9)11例例2.计算计算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面三个坐标面所围成的四面体的表面三个坐标面所围成的四面体的表面.解解:设设上的部分上的部分,则则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式=分别表示分别表示 在平面在平面 zyx111O对面积的曲面积分(9)12xzyO例例3.设设2222:azyx),(zyxf计算计算.d),(SzyxfI解解:锥面锥面22yxz的222yxaz.21,21222azayx 1设,),(22122ayxyxDyx,22yx，022yxz当22yxz当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分,它在它在 xOy 面上的面上的投影域为投影域为则则 1d)(22SyxI1yxD对面积的曲面积分(9)131d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxzyO例例3.3.设设2222:azyx),(zyxf计算计算.d),(SzyxfI解解:,22yx，022yxz当22yxz当1yxD,),(22122ayxyxDyx对面积的曲面积分(9)14内容小结内容小结1.定义定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.计算计算:设设,),(,),(:yxDyxyxzz则则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似)对面积的曲面积分(9)15思考与练习思考与练习P219 题题1；3；4(1);7 解答提示解答提示:P219 题题1.SzyxzyIxd),()(22P219 题题3.,),(,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设设则则0P246 题题2对面积的曲面积分(9)16P219 题题4(1).Oyz2x 在在 xOy 面上的投影域为面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是这是 的面积的面积!2xyD)(2:22yxz对面积的曲面积分(9)17P220 题题7.如图所示如图所示,有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd)1(302221rt令2zyx1O对面积的曲面积分(9)18P246 题题2.),0(:2222zazyx在第一卦为1限中的部分限中的部分,则有则有().;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(2000 考研考研)对面积的曲面积分(9)19作业作业 P219 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8对面积的曲面积分(9)20备用题备用题 1.已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z=1以上部分 的的面密度质量 M.解解:在 xOy 面上的投影为,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO对面积的曲面积分(9)212.设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算.d)1(12SyxI解解:在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域对面积的曲面积分(9)22yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域yzzydd10)1(1102xzzxdd10)1(11022ln)13(233yxyxxdd)13(2)1(1101021(1)dx yIS 对面积的曲面积分(9)