高等数学下册D104对面积曲面积分课件

高等数学(下册)D104对面积曲面积分第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章 高等数学(下册)D104对面积曲面积分oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想,采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分SzyxMd),(定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分oxyz定理定理:设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在 上连续,存在,且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明:由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分yxD例例1.计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解:yxDyxyxaz),(,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z=h 截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0hln4aa则hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分例例2.计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解解:设上的部分,则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(12031zyx与,0,0,0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式=分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分xozy例例3.设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解:锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx，022yxz当22yxz当计算结果如何?高等数学(下册)D104对面积曲面积分例例4.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解:设 的方程为yxDyxyxRz),(,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题:例 3 是否可用球面坐标计算?例3 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分例例5.计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解:取球面坐标系,则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分例例6.计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分zzd例例7.计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析:若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分oyxzL例例8.求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.解解:)0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分例例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度 h=36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径 R=6400 km)解解:yzxohRR建立坐标系如图,覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球坐标系,则ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1(22RhRRcoshRhR22高等数学(下册)D104对面积曲面积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4.636(21036%5.40由以上结果可知,卫星覆盖了地球 31以上的面积,故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明说明:此题也可用二重积分求 A(见下册P109 例2).yzxohRR高等数学(下册)D104对面积曲面积分内容小结内容小结1.定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分思考与练习思考与练习P158 题1；3；4(1);7 解答提示解答提示:P158 题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题3.,),(,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0P184 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分P158 题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积!2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分P159 题7.如图所示,有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd)1(302221rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分P184 题2.设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分,则有().;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(2000 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分作业 P158 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分备用题备用题 1.已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M.解解:在 xoy 面上的投影为,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分2.设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算.d)1(12SyxI解解:在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(下册)D104对面积曲面积分yyzzd)1(1d10210 xxzzd)1(1d102102ln)13(233yyxxIxd)1(1d)13(10210机动 目录 上页 下页 返回 结束