函数学习中的数学思想

函数学习中的数学思想函数学习中的数学思想山东 刘海一些重要的数学思想在函数学习中有着广泛的应用，在学习时要注意归纳总结1数形结合的思想函数的图象能直观地显示函数的性质，借助于图象来研究、解决有关函数的问题是数形结合应用的一个重要方面 在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题例 1已知c 0，下列不等式中成立的是（）1cc 2c 2112 2c22cccc解析：在同一坐标系中分别作出y x，y 1，2xcxx11y 2的图象，如右图所示，显然x 0时，x 2，即c 0时，c 2c22x2分类讨论的思想在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是在研究含参数的二次函数在部分区间上的最值问题及在研究函数的单调性等问题时，一般需用分类讨论的思想方法2上的最大值为 1，例 2已知函数f(x)ax(2a 1)x3在区间，求实数a的值2322上不能取得，故a 0解：当a 0时，f(x)x3，f(x)在，f(x)ax(2a 1)x3(a 0)的对称轴方程为x0（1）令f23212a2a2331031x ，2，解得，此时a 02023231不合题意；2a 0，f(x0)最大，f（2）令f(2)1，解得a 1332，此时x0 ，324a 3 0，f(2)1为最大值；4（3）令f(x0)1，解得a 验证后知只有a 1(32 2)，21(32 2)符合题意231综上所述，a，或a(32 2)423转化与化归的思想在解恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、二次函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题x22xa例 3已知函数f(x)，x1若对任意x1，)，)，f(x)0恒x成立，试求实数a的取值范围x22xa 0恒成立 x22xa 0恒成立解：在区间1，)上，f(x)x设y x 2x a，x1，)，y x 2xa (x1)a1在x1，)上递增，当x 1时，ymin 3a，即当ymin 3 a 0时，函数f(x)0恒成立，故a 3例 4设函数y f(x)定义在R上，则函数y f(x1)与y f(1 x)的图象关于（）直线y 0对称直线x 0对称直线y 1对称直线x 1对称解析：使抽象问题具体化，取f(x)x，则f(x1)(x1)，f(1 x)(x1)此时，两函数的图象重合，且关于直线x 1对称，故选（）4换元思想例 5求函数y x 12x的值域2222221t2解析：令t 12x(t0)，则x，21t21t (t 1)21，y 22t0，当t 0时，y的最大值为12函数的值域为，5函数与方程的思想函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题 方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的组合），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解函数与方程思想是中学数学的基本思想方法，是一种重要的数学观念，它不仅仅是一种具体的解题方法，而且是解题思维的导航器例 6设a，b，cR，且它们的绝对值都不大于，求证abbcca10分析：构造函数f(a)abbcca1，f(a)是关于a的一次函数，由于a11，只要证明f(1)0且f(1)0，就能证明f(a)0证明：设f(a)(bc)abc1，f(a)是关于a的一次函数，a，b，c11，f(1)bcbc1 b(1c)(c1)(b1)(c1)0，f(1)bcbc1 b(c1)(1c)(1b)(1c)0，f(a)在11，上非负，abbcca10评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数f(a)，从而由一次函数的图象性质，使问题得到解决12