选修1-2 第2章推理与证明

第2章 推理与证明一、本章知识结构二、内容安排本章包括3节，约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：2 1 合情推理与演绎推理 约3课时2 2 直接证明与间接证明 约2课时2 3 数学归纳法 约2课时章节复习小结 约1课时三、重点知识梳理1归纳推理与类比推理的区别与联系（1）联系：归纳推理与类比推理都是合情推理，且归纳推理与类比推理得出的结论都不一定可靠（2）区别：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的一种推理，它是由特殊到一般、由部分到整体的推理而类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理例如，已知甲、乙两类对象都具有性质，且甲还具有性质d，可以猜想乙也具有性质d，这种推理就是类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理2合情推理与演绎推理的区别与联系（1）区别：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理常用的合情推理有归纳推理和类比推理，由合情推理得到的结论都仅仅是猜想，未必可靠演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理是由一般到特殊的推理由演绎推理得出的结论都是可靠的在数学中，证明命题的正确性，都要用演绎推理演绎推理的一般模式是三段论（2）联系：合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用在数学结论及其证明思路的发现中，主要依靠合情推理而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理因此在数学学科的发展中，这两种推理都是不可缺少的3综合法与分析法的区别综合法与分析法是证明命题的两种最基本最常用的方法，用这两种方法证明命题的思路截然相反综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证（即演绎推理），最后推导出所要证明的结论成立而分析法则是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件综合法“由因导果”，而分析法是“执果索因”在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用4反证法证题的一般步骤（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面正确；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确5如何正确选择综合法、分析法、反证法（1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时（2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时（3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰（4）注意分析法的表述方法：“要证明，只需证明，因为成立，所以成立”，“为了证明，只需证明，即，因此只需证明”（5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”（6）利用反证法证题时注意：必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法第1课时 2.1.1.1合情推理教学目标：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。教学重点、难点：归纳推理及方法的总结、归纳推理的含义及其具体应用。教学过程：一、问题情境(1)原理初探引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？阿基米德的灵感：A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。思考：整个过程对你有什么启发？启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。归纳推理的发展过程观察猜想证明(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 “歌德巴赫猜想”。链接:世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶数是否也有类似的规律？讨论：组织学生进行交流、探讨。检验：2和4可以吗？为什么不行？归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。3.数学建构这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)。简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤： 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，结论：凸n边形的内角和是（n2）1800。例3 探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ “ 一切皆有可能！”5.提高巩固探索：先让学生独立进行思考。活动：“千里走单骑”鼓励学生说出自己的解题思路。活动：“圆桌会议”鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心能力培养（例2拓展）思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧和。技巧:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明.第2课时 2.1.1.2类比推理教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。教学重点、难点：能利用类比进行简单的推理。用类比进行推理，做出猜想。教学过程：一、问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二、数学活动我们再看几个类似的推理实例。例1.试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2; (3) aba2b2;例2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.巩固提高1已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为- -2类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S3定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_. 课堂小结1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）第3课时 2.1.2.1演绎推理教学目标：了解演绎推理 的含义；能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。教学重点、难点：正确地运用演绎推理，进行简单的推理；了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。教学过程：一、复习:合情推理归纳推理 从特殊到一般类比推理 从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。类比提出猜想二、问题情境。 观察与思考1所有的金属都能导电，铜是金属, 所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数， 所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, tan 是三角函数,所以，tan 是 周期函数。提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？三、学生活动 ：1.所有的金属都能导电 大前提铜是金属, -小前提所以，铜能够导电 结论2.一切奇数都不能被2整除 大前提(2100+1)是奇数，小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. 结论3.三角函数都是周期函数, 大前提tan 是三角函数, 小前提所以，tan 是 周期函数。结论四、建构数学 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.五、数学运用解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论 lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC, BEAC, D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90-小前提所以ABD是直角三角形结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为 DM是直角三角形斜边上的中线,小前提 所以 DM= AB结论 同理 EM= AB所以 DM=EM.六、 回顾小结：演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中。(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数学中严格证明的工具。(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。演绎推理错误的主要原因是（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的条件。 第4课时 2.2.1综合法与分析法教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；教学重点、难点：了解分析法和综合法的思考过程、特点；分析法和综合法的思考过程、特点教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。教学过程:一、学生探究过程：证明的方法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 例1设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2ab成立。(a+b0) 只需证a2-2ab+b20成立， 即需证(a-b)20成立。 而由已知条件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20 亦即a2-ab+b2ab 由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab 即a3+b3a2b+ab2，由此命题得证例2.若实数，求证：证明：采用差值比较法：= = =例3.已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：（1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。（2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4课后作业：第84页 1，2, 3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。第5课时 2.2.2反证法教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；教学重点、难点：了解反证法的思考过程、特点；反证法的思考过程、特点.教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。教学过程:学生探究过程：反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例1.求证：不是有理数例2.已知，求证：（且）例3.设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例4.设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例5.设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设a 0, bc 0, 则b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0同理可证：b 0, c 0巩固练习：第83页练习3、4、5、6课后作业：第84页 4、5、6教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。第6课时 2.3.1数学归纳法（1）教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法。3能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学过程：1华罗庚的“摸球实验”。2“多米诺骨牌实验”。问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。例1.以知数列an的公差为d，求证：说明：归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。数学归纳法证明的基本形式；练习1.用数学归纳法证明例2：用数学归纳法证明(nN,n2)说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。练习2.用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边有_项,右边有_项；(2)当n=k时,左边有_项,右边有_项；(3)当n=k+1时,左边有_项,右边有_项；(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?变题: 用数学归纳法证明 (nN+)例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n) (nN,n2)说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。课堂小结1数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.【反馈练习】1用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2 C n=3D n=42用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )A. B C D 3若n为大于1的自然数，求证 证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即4用数学归纳法证明第7课时 2.3.2数学归纳法（2）教学目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。2掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。教学重点、难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；归纳猜想证明。教学过程：问题1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。问题3：用数学归纳法证明：能被9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。例1.求证: 能被整除（nN+）。例2.数列an中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想an的通项公式，并证明你的猜想。说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳猜想证明变题：设数列an满足，nN+, (1)当a1=2时，求，并猜想an的一个通项公式； （2）当a13时，证明对所有的n1,有 ann+2 例3.平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。例4.设函数f(x)是满足不等式,(kN+)的自然数x的个数；（）求f(x)的解析式；（）记Sn=f(1)+f(2)+f(n),求Sn的解析式；（）令n=n2+n-1 (nN+),试比较n与n的大小。课堂小结1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳猜想证明。2.两个注意：（1）是否用了归纳假设？（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？反馈练习1.观察下列式子 则可归纳出_ (nN*)2用数学归纳法证明 3已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。4.是否存在常数a、b、c，使等式对一切都成立？并证明你的结论.课外作业 第7课时 章节复习小结教学目标：1了解本章知识结构。2进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。3认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。教学难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力教学过程：推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法数学归纳法一、知识结构：二、探索研究我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。三、例题评析例1.如图第n个图形是由正边形“扩展”而来,（，）。则第n2个图形中共有_个顶点。变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖 块。例2.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_;变题1：已知，m是非零常数，xR,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。变题2.数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）例3.设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：为偶函数。例4.设Sn=1+ (n1,nN),求证： （）评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。变题：是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2（1）n=1时，等式以证，成立。（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 四、课堂小结体会常用的思维模式和证明方法。五、反馈练习1在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则A B C D2定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形（1）（2）（3）（4）那么下列图形中（1）（2）（3）（4）可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A（1）、（2） B（2）、（3） C（2）、（4） D（1）、（4）3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 6解析 f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36 4 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解 (1) 设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明 由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小 取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时，已验证(*)式成立 假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时， ,即当n=k+1时，(*)式成立由知，(*)式对任意正整数n都成立 于是，当a1时，Snlogabn+1,当 0a1时，Snlogabn+1课外作业 推理与证明巩固练习11下列几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条直线的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)A与B是两条平行直线的同旁内角(小前提)，AB180(结论)2下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理归纳推理是由一般到一般的推理演绎推理是由一般到特殊的推理类比推理是由特殊到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理AB C D解析：选D.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理3下面使用类比推理恰当的是()A“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类推出“”C“(ab)cacbc”类推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类推出“(ab)nanbn”解析：选C.由类比推理的特点可知4定义集合A，B的运算：ABx|xA或xB且x(AB)，则ABA_.解析：如图，AB表示的是阴影部分，设ABC，运用类比的方法可知，CAB，所以ABAB.答案：B5设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4b14q6，T8b18q127b18q28，T12b112q1211b112q66，b14q22，b14q38，即()2T4，故T4，成等比数列答案：6等差数列an中，公差为d，前n项的和为Sn，有如下性质：(1)通项anam(nm)d；(2)若mnpq，m、n、p、qN*，则amanapaq；(3)若mn2p，则aman2ap；(4)Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列请类比出等比数列的有关性质解：等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn，则可以推出以下性质：(1)anamqnm；(2)若mnpq，m、n、p、qN*，则amanapaq；(3)若mn2p，则amanap2；(4)当q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列推理与证明巩固练习21下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A三角形 B梯形 C平行四边形 D矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2由，若ab0且m0，则与之间大小关系为()A相等 B前者大 C后者大 D不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得.3“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()A小前提错 B结论错 C正确的 D大前提错解析：选C.大前提正确，小前提正确，故命题正确4下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理5给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sinsin；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B.正确6观察图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为()ASn2n22n BSn2n2 CSn4n23n DSn2n22n解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n2时有S24，分别代入即可淘汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n1项和，即Sn(n1)442n22n.7ycosx(xR)是周期函数，演绎推理过程为_答案：大前提：三角函数是周期函数；小前提：ycosx(xR)是三角函数；结论：ycosx(xR)是周期函数8对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：a0；(ab)2a22abb2；若|a|b|，则ab；若a2ab，则ab.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是_解析：对于，当ai时，aiii0，故不成立；对于，由复数四则运算的性质知，仍然成立对于，取a1，bi，则|a|b|，但ab，故不成立答案：9已知数列2008,2009,1，2008，2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于_解析：数列前几项依次为2008,2009,1，2008，2009，1,2008,2009，每6项一循环，前6项之和为0，故前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为200820091200820091.答案：110用三段论的形式写出下列演绎推理(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等解：(1)两个角是对顶角则两角相等，大前提1和2不相等， 小前提1和2不是对顶角. 结论(2)每一个矩形的对角线相等， 大前提正方形是矩形， 小前提正方形的对角线相等. 结论11.观察：(1)tan10tan20tan20tan60tan60tan101；(2)tan5tan10tan10tan75tan75tan51.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论解：若锐角，满足90，则tantantantantantan1.12已知等差数列an的公差d2，首项a15.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律解：(1)由已知a15，d2，ana1(n1)d52(n1)2n3.Snn(n4)(2)Tnn(2an5)n2(2n3)5，Tn4n2n.T15，T2422218，T3432339，T4442468，T54525105.S15，S22(24)12，S33(34)21，S44(44)32，S55(54)45.由此可知S1T1，当n2时，SnTn.归纳猜想：当n2，nN时，SnTn.推理与证明复习试卷1.下列表述正确的是（ ）归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理。A；B；C；D。2.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、)则在第n个图形中共有（ ）个顶点。A(n+1)(n+2) B. (n+2)(n+3) C. D. n 3.三段论“（1）只要船准时起航，就可以准时到达目的地（2）这艘船是准时到达目的地的（3）这艘船是准时起航的”中的小前提是（ ） A （1） B （2） C （3） D （2）和（3）4.观察,则可以推出的结论是（ ）