《断裂力学绪论》PPT课件

工 程 断 裂 力 学Engineering Fracture Mechanics,（ 40 学 时 ）,主 要 章 节,第一章：与断裂力学有关的工程力学基础（复习） （7） 第二章：线弹性断裂力学初步 （15） 第三章：弹塑性断裂力学简要 （8） 第四章：断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用 （6） 复习 （2） 考试 （2） 主要参考书：工程断裂力学李洪升等编 工程断裂力学基础王克仁等译 （“Elementary Engineering Fracture Mechanics” D. Broek）,绪论, 断裂力学产生的背景 断裂现象古老而普遍的问题 人工具断裂 （石器，木棒、陶器损坏、折断、更换） 工业发展事故 （火车、桥梁、房屋轴断、桥坏、房塌） 战争灾难尤甚 （飞机、战船、火炮机毁、船折、人亡） 断裂发生的根本原因 设计问题 理论不完善 使用问题 使用不正确 材料问题 材料不完整 其中材料问题最复杂、认识有限！材料为什么会断裂？断裂原因和规律 是什么？几百年来的研究课题。,考虑一个问题： 下图是4块等厚度的板， A的宽度为 W ，B、C、D 3块的宽度为 W+a 。但在这增加的宽度a上分别为无缺陷，有直径为d 的孔缺陷和裂纹缺陷，在两端分别施加均匀拉力 F1、F2、F3、F4 后破坏，请问：所施加力的大小应怎样排列？,答案：,Why?,绪论, 材料不是完美无瑕的 工程材料都有缺陷（先天 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝 后天 冶炼、加工、制造、安装、使用） 材料中的宏观尺寸缺陷这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。 由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100； 由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中； 由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对 外界的抗力不仅与外力有关还与裂纹的长度有关。 断裂研究的重大意义 社会和经济发展的需求是科学发展的动力。结构件的失效带来巨大的社会和经济问题。断裂是所有失效中最严重、最危险的失效。飞机失事80%以上是疲劳或应力腐蚀断裂引起。发达国家每年因断裂失效造成的损失为GDP的4%（美国因此每年损失1000 多亿美元）,同时断裂给人身生命安全造成极大威胁（地球板块断裂研究是地震研究的重要方向）。因此断裂研究有重大的经济和社会意义 。,绪论, 尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷 多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的理论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的发展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说明，已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的推动下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中等理论研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产和设计中发挥重大作用，并继续承受检验。 什么是断裂力学？ 断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂条件的科学。,绪论, 代表人物 谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：Inglis, Griffith, Irwin. Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔受力的应力分布, 具体计算了孔边应力集中问题。Griffith 1920 年在 Inglis 的基础上，用能量法分析了脆性材料的破坏准则，成为断裂力学最早的奠基者。Irwin 则在前人的基础上，1957年成功地分析了裂纹尖端的应力场和位移场，提出了应力强度因子的概念,使断裂力学成为一门学科。 此后许多科学家在这方面做出了贡献。我国60年代初就开始了断裂力学的研究工作。虽然因文革延误，但陈篪等科技工作者还是做出了相当突出的工作。 近来的发展： 断裂力学在上世纪6080年代得到长足发展，经历发烧期，建立了许多理论。,绪论,1989 Irwin指出： “线弹性断裂力学已基本成熟，关键是在应用中 不断完善；弹塑性断裂力学及动态断裂力学还有很长的路要走”。 1989 ICF大会主席之一Leibowite指出： “尽管多年来断裂力学在解决重大问题上取得很大进展，但必须明了断裂力学远非一门成熟的学科。今后最迫切的是需要付出极大的努力发展能预测稳定裂纹启裂或扩展的更完善的断裂理论。其中一个主要方向就是要深入研究断裂力学与经典力学的区别，并找出能统一裂纹与非裂纹体的统一理论” 目前断裂力学研究已经过了发烧期，处于向动态断裂力学等方向深度发展阶段。 主要学习内容 线弹性断裂力学为主, 注重应用 材料科学与工程和该课程的关系 结构材料包括功能材料工程应用必须正视或解决的问题。 要求：重视概念、学以致用、适当记笔记。,第一章：与断裂力学有关的工程力学基础, 1-1 一点的应力与应变 1-1-1 一点的应力 1-1-2 斜截面上的应力 1-1-3主应力和主平面 1-1-4 一点的应变 1-2 平衡微分方程 1-2-1 微单元的平衡方程 1-2-2 边界条件 1-2-3 应力应变关系（各项同性、小变形、弹性连续体） 1-3 平面应力与平面应变 1-3-1 平面应力 1-3-2 平面应变, 1-4 相容方程和应力函数 1-4-1 相容方程 1-4-2 求解平面问题的基本方程 1-4-3 应力函数 1-4-4 极坐标求解平面问题方程 1-5 应变能密度 1-6 应力函数的复变函数表示 1-6-1 复变量复习： 1-6-2 用复变函数表示的应力函数 1-7 材料的变形模型 1-7-1 简单拉伸的试验结果 1-7-2 材料单向受力的简化模型 1-8 材料的屈服条件,第一章：与断裂力学有关的工程力学基础, 1-1-1 一点的应力 正应力 切应力 应力张量 1-1-2 斜截面上的应力 斜截面上的应力分量 Einstein 求和约定 斜截面公式 1-1-3 主应力和主平面 主应力与主平面的定义 求解主应力 应力不变量 1-1-4 一点的应变 线应变 剪应变 应变张量 应变与位移的关系, 1-1 一点的应力与应变, 1-1 一点的应力与应变, 1-1-1 一点的应力 应力的定义 物体（各向同性的弹性体）在一个微面上受的力dF与该微面面积dA的比（即 单位面积上的力）定义为该微面上应力： AdF/dA 由于dF可以分解为垂直于dA和平行于dA 的分力， 因此可以产生 垂直于该面的应力称为正应力 和 平行于该面的应力称为剪应力,dF,dA,Fi, 一点的应力,应力是定义在一个面上的，过一点有无数多个 面，这些面上都有应力，但不是互相独立的。通常 物体内部的一点用一个小正六面体来表示，只要知 道这六个面上的应力，其它各面上的应力就可以确 定了。当六面体的各面趋近于零就代表一个点了。 在（x,y,z）坐标系下，对于各向同性的弹性 体，六面体各个面上的应力可以表示为： 或表示为 一点的应力可以用上述应力分量表示，它是一 个张量 ，通常简略表示为ij 。,x,x,x,及, 一点的应力,各向同性材料过一点的其它各面上的应力都可以通过平衡关系用这9个量来表示。 这9个量表示了一点的应力状态。张量是一组表示某种性质的量的组合。它不是一个值。 因此，不可以说一点的应力多大，只能说某个面上的应力有多大，或一点某个方向 上应力多大（实际还是指与这个方向垂直的面上的应力）。而面上的应力可以分解为 正应力和剪应力。 实际上，过一点可以做无数多个平面，但相对于这个正六面体的任意一个斜面上的 应力，对各向同性材料，在三维空间里都可以用这9个独立分量表示出来。 ij ；i=1,2,3 ; j=1,2,3 ; 可以证明剪应力互等，即： ijji （ij）; 从而ij 是一个二阶对称张量，可用6个独立分量表示。,单元体上的应力,x,y,z,(21),(11),(31),(12),(13),(x1),(x2),(x3),(32),二维应力（ ）状态,假设任意斜截面与正六面体坐标轴的夹角的余弦,也就是斜截面法线的方向数 为 n1，n2，n3，这个斜截面（ABC)上的应力T 在三个坐标轴上的投影为 T1,T2,T3 ， T 还可以分解为垂直于斜截面（ABC)上的应力 和平行于该平面的应力, 1-1-2 斜截面上的应力,设截面ABC的面积为1，则AOB,BOC, COA的面积为: n1, n2, n3; 由力在三个坐标轴 x1, x2, x3 方向上的平衡条件： ； 是坐标轴 x1, x2, x3 的基矢。, 1-1-2 斜截面上的应力,这里使用了Einstein 求和约定，即：如果在一个表达式的某项中，某指标重复出现两次，则表示要在该指标取值范围内，遍历求和。 例如： (i=1,3); (i=1,n;j=1,n)表示一个线性方程组。 斜截面上的正应力与剪应力：,从而有：,可简化为：,二维平面斜截面上的应力,上式平方和相加，得：,在 坐标系中，与 落在一个圆上, 1-1-3 主应力和主平面,若斜截面上只有正应力，而没有剪应力时，我们把这个平面叫做主 应力面或主平面。在主应力面上， = 0; = T = 为主应力。从而，,代入方程,即：,有：,即：,这是一个关于 n1, n2, n3 的线性齐次方程组，其有非零解的充分必要条件是： 系数行列式的值等于零。,或, 主应力和主平面,得出：3I12+I2-I3=0 由此方程解出的三个根，即为三个主应力1 ，2 ，3 ；主应力所在的面称为主平面。 他们对应三组 n1，n2 ，n3 ，分别是它们法线的方向数。这里，I1，I2，I3 称为应力不变量。,即：,应力不变量亦可写成：,如果选择主方向为坐标轴 ，则应力张量不变量可化简为：,一点的三个方向存在主应力,若一点的三个主应力中 ，则 一定是过该点 所有截面中正应力最大的，而 是所有截面中正应力最小的， 且三个主应力是互相垂直的。, 1-1-4 一点的应变,一点的应变是指过一点任意方向微小线段的单位长度的伸长（收缩）和过 该点成直角的任何两线段角度的减少（增加）。前者叫做线应变，后者叫做剪应 变。因为过一点可引无数条直线，一点的应变也是一个张量。在三维空间，各向 同性材料小变形的应变张量由9个独立分量组成，可写成： , i=1,2,3; j=1,2,3 可以证明剪应变互等，从而 也是可用6个分量表示的二阶对称张量。 应变本质上是由线段上点的位移产生的。位移与应变可通过几何关系联系起来。 这里不推导了。设一点的位移分量为 , 则该点位移和应变的关为： 若在二维情况下： ; ; 则： 应变与位移的关系是分析物体内部应力状态的重要关系式。,应力张量和应变张量,应力张量：任意点的应力有6个独立分量，形成二阶张量 应变张量：任质点的应变有6个独立分量，形成二阶张量, 1-2 平衡微分方程, 1-2-1 微单元的平衡方程 三个轴向力的平衡 平衡微分方程 关于中心轴的力矩平衡 剪应力互等定理 1-2-2 边界条件 应力的边界条件 位移的边界条件 混合边界条件 圣维南原理 1-2-3 应力应变关系（本构关系，物理方程） 胡克定律 Hookes Law 各项同性、小变形、弹性连续体, 1-2-1 微单元的平衡微分方程,如果我们要考虑受力物体内部的应力从一点到另一点的变化，我们必须建立微单元的平衡微分方程。, 微单元的平衡微分方程, 三个轴向力的平衡： 如果我们把代表一点的微小六面体上面的 各个应力和增量全部表示出来，然后在x,y,z 方 向上列出平衡方程，我们就可以得出一点的平衡 微分方程： （1） 该式看起来很简单，其实不简单（i=1,2,3） 代表三个方程；“，” 代表偏微分；j 重复出现两 次，表示在它的取值范围内（j=1,2,3）遍历求 和。若不写成简式；应写为(1) 式；如果考虑微 单元的体力,则上三式还应分别加上体力分量 B1,B2,B3 即可写成公式（2）。简写为： （2） 关于中心轴的力矩平衡 求得剪应力互等：,（2）,（1）, 1-2-2 边界条件, 应力的边界条件 如果我们把斜截面看成外表面；斜截面上的应力式视为外力，那么斜截 面公式就是联系内力与外力的边界条件。因此，力的边界条件可写为： 位移的边界条件 在边界上， U=US; V=VS; W=WS 混合边界条件 在边界是上既有力的边界条件，也有位移的边界条件。, 圣维南原理（saint-venant principle, 1855） 描述1：作用在物体局部表面上的自相平衡力系（即合力与合力矩为零）所引起的应 变，在远离作用区（即距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方可以忽略不计。 描述2：若把作用于物体局部表面上的外力用一组与它静力等效（即合力与合力矩 保持不变）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响都将随远离 该局部作用区的距离的增加而迅速衰减。 适用范围：不仅适用于弹性小变形，也适用于大变形和非弹性情况。圣维南原理适 用于实心体，严格的证明还在进行中。Goodier,J,N 通过对应变能量分析指出，当三维 实心物体受局部自相平衡力系作用时，影响区的尺寸与载荷作用区的尺寸同量级。 利用圣维南原理可以解决夹持边界的影响问题 圣维南原理还可以将位移的边界转化为等效的力的边界。, 1-2-3 弹性应力应变关系（constitutive relations）,Hookes law： 各项同性、小变形、弹性连续体的实验定律,对于钢铁材料，E 2.1x105 (Mpa); 0.3, 弹性应力应变关系,引入 Lame系数 ，并令 （体膨胀系数）， 可将上式化简为： 对于二维平面情况可以进一步化简： 平面应力下： 平面应变下 E 用 E1， 用 代替上述关系仍然成立：,Values for E, , , 1-3 平面应力与平面应变, 1-3-1 平面应力 几何特征 受力状态 1-3-2 平面应变 几何特征 受力状态,在工程实际中，经常遇到这样一类物体，其形状扁平，如薄板梁，平面链环，砂轮， 水泵和气轮机的叶轮等，这类物体具有下列特点： 1、在几何形状上，它们都是一块等厚度的薄板； 2、在受力状态上，它们都只在板的周边上受有平行于板面并且沿厚度不变的面力。 不难想象，由于板很薄，外力沿厚度不变，我们可以近似地认为应力与板厚有关的 分量处处为零，则 未知应力局限在一个平面内，即平面上可以只考虑三个应力分量 x， y ，xy ，且与 z 无关。此时，应变分量 x ，y ， xy 及位移分量u 、v 也与z无关。 注意，此时，z0，但z 0；（厚度方向位移w0; xz=yz=0）。 平面应力下的平衡微分方程为： 当体力为0 时变为：, 1-3-1 平面应力, 1-3-2 平面应变,工程上还遇到另一类物体，像水坝，挡土墙，涵洞，轧辊，炮筒， 滚柱轴承 的滚柱等受垂直于纵轴并不沿长度变化的载荷的作用，这些物体具有下列特点： 1、几何形状上，它们都是一个等截面的长柱体； 2、受力都只受到平行于横截面并沿长度不变的面力或体力； 这时候，纵向位移w=0；z0，yzxz0；，横截面上只有 x ，y ，xy 未知应变局限在横截面的平面里。 但要注意： z 0；z (x+y)0；其横截面满足平面应变的平衡方程。 平面应变下的平衡微分方程和平面应力完全相同：,（1） 当体力为0变为,（2）, 1-4 相容方程和应力函数, 1-4-1 相容方程 1-4-2 求解平面问题的基本方程 1-4-3 应力函数 1-4-4 极坐标求解平面问题方程, 1-4-1 相容方程,相容方程又称协调方程，它表示位移与应变不能随便选择。必须相互协调， 才能保证变形的一致。 以二维的情况为例： 3个应变分量用两个位移函数U和V表示，它们不能随便选取，因为相互间有 一定的关系。现将第一个方程对y 微分两次，第二个方程对x 微分两次，第三个 对 x 微分一次再对y 微分一次，就可以得到： 这说明 三者不是相互独立的。 三维问题有这样六个方程，这个关系称为相容条件或相容方程。 利用应力应变关系，可以将（1）式变为应力分量之间的关系。 将（1）式代入胡克定律有:,（1）,（2）, 相容方程,注意利用体力为常量平面问题的平衡微分方程： 上一个对 x 微分，下面一个对 y 微分有： （3）式代入（2）式得到： 即 ： 若体力不是常量，则需增加体力的微分量。 方程（4）就是二维情况下，体力为常量时用应力表示的相容方程。从应力 求解时要用上式 。如果从应变入手求解，则可直接用（1）式。,（3）,（4）, 1-4-2 求解平面问题的基本方程(小结 ),(一) 基本方程 (8个） （1）平衡微分方程2个 （2）几何方程 3个 ， ， （3）物理方程 3个 ， ， (二）边界条件 2个 （三）未知数 8个,线弹性平面问题的一般解法变为：已知8个基本方程和两个边界条件，求解8个未知数的微分方程边值问题。或者说：求解满足平衡方程、相容方程的积分，并满足边界条件。, 1-4-3 应力函数 (Airy function),从应力着手求解平面问题，在体力为常量的情况下， 三个应力分量应 满足平衡微分方程 及相容方程 ，还应当满足边界条件。 先考虑一下平衡微分方程，它是一个非齐次的微分方程。它的解包括两部分，即 任意一个特解加上齐次方程的通解。对于平面问题的微分方程，特解是容易得到的。 例如,我们取 就可以满足平衡微分方程。 求齐次方程 即 的通解，我们可以把上面的方程 （1）改为 根据微分方程理论， 一定存在某个函数 A（x ,y),使得 同样，对于方程（2）一定存在某个函数 B（x ,y),使得 从（3）和（4）可见，必须要求,（1）,（2）,（3）,（4）, 应力函数 (Airy function),同样，又应存在一个函数 使得 这样，将 代入方程（3）， 代入方程（4）有: 就能满足齐次方程，即为通解。从而，平衡方程的一般解为： 不考虑体力时，（6）式就是一般解。函数 表示的应力（6）或（7）称为 平面问题的应力函数。上述推导过程首先是由Airy 得出的，故又称为Airy应力函数。 为了使应力函数能同时满足相容方程，我们将(7)式表示的应力代入用应力表示的 相容方程 得到： 因为 都是常量，二次微分后 都变成零，从而（8）式为,（5）,(6),（7）,（8）,（9）, 应力函数 (Airy function),因此，从应力入手求解平面问题变为： 寻求满足方程（9） 的应力函数 ，并满足边界条件就可以了。 事实上，寻求应力函数 并不是一件容易的事情。 许多力学工作者专门找适合各种边界条件的应力函数，找着一个就是一个创新，就 可以写一篇好论文。 还需说明的是，应力函数不是唯一的。, 1-4-4 极坐标求解平面问题方程,1、平衡方程 2、几何方程 3、本构方程（胡克定律） 4、相容方程 Laplace 算子 5、 应力函数, 1-5 应变能密度, 应变能密度概念 应变能密度用应力表示 应变能密度用应变表示 应变能的分解,应变能密度的概念 一个物体受到外力的作用后，不考虑热量损失，外力所做的功变成应变能， 储存于物体内部。对于理想的弹性体，当外力卸载后，这种应变能能释放出来。一 般外力做功，我们表示为：W= F.ds 矢量积的积分；在一个方向，例如x方向所作 的功： 就变成该方向的应变能： 单位体积的应变能称为应变能密度： 能量可把各个方向叠加；总应变能密度： 在线弹性情况下，单向应变能密度 ： 总应变能密度 ：,（ 注意对 和 求和， ）,利用应力应变关系，应变能密度可以完全用应力或应变表示。, 应变能密度用应变表示：, 应变能密度用应力表示：,此外： 还可以分解为两部分体积应变能密度和畸变能密度之和： 这里 是主应力。,这里：, 1-6 应力函数的复变函数表示, 1-6-1 复变量复习 复变量的定义 复变函数 复变函数的导数 解析函数 Cauchy-Riemann relations。 諧函数与解析函数 1-6-2 用复变函数表示的应力函数, 1-6-1 复变量复习, 复变量的定义： 复变函数： 是实函数 复变函数的导数： 解析函数： 导数存在的复变函数称为解析函数。 解析函数f(z) 可看成对x和y 都具有偏导数的函数，于是： (1) (2) 若把f(z) 写成： ， 则： (3) (4),1-6-1 复变量复习,由（1），（2）式可见（3）式乘以i 与（4）式相等。从而有： , 即： .(5) Cauchy-Riemann relations 由复变函数相等需实部和虚部分别相等而得到： ； .(6) 或写成： 这就是著名的 Cauchy-Riemann relations。 諧函数与解析函数 从（6）式中消去 得： ；从（6）式中消去 得： 即 和 这说明复变函数的实部和虚部都满足Laplace方程，即都是諧函数。这是复变函数一个非常有用的性质。, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,前面讲过，对于平面问题若体力为常量，求解应力场归结为寻求应力函数 ， 满足 。 为实函数。由于： 因此 仍然是实函数。在复变函数里 可以看成独立变量。,Then，,（1）,（2）,（3）,由：, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,从而：,（4）,（5）,（6）,（7）,可表示为：,将上式对 各积分两次，有：,（9）,（8）,因此，隐去 ， 复变函数有算子形式：, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,其中 为任意函数，注意应力函数为实函数， 因而 （9）式右边一定是两两共軛，即： 于是（9）式可用两个函数 表示。 那么： 若将函数 分别用 表示，就得出著名的古萨公式 Goursat formula： 或： 从而，体力为常量的弹性力学平面问题的应力函数解法，用复变函数求解归结 为：寻求两个合适的解析函数 ，满足边界条件。 应力和位移亦可用复变函数表示，以不考虑体力的情况为例：,（10）,（11）,（12）,（13）, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,将（11）式代入对 求偏导数得： 将（11）式代入对 z 求两次偏导数得： 以后， 本身用不到， 有用的是它的导数 , 因此我们用另一个函数 代替 ， 则（16）式变为： 其共軛函数为：,（14）,（15）,（16）,（17）,（18）, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,(14)式与（17）式一起就可以确定各应力分量。只要知道 将（14） 和（18）式相加，又可得： 这个式子对于表达裂纹面的边界条件很有用。 （14）和（17） 相加得： 位移分量也可以用 表示：由,（20）,（19）,这里，,同理，,（22）,（21）, 1-6-2 用复变函数表示的应力函数,利用（14）式 和有关 表达式： 不计刚体位移, (23) 和 (24) 相加有:,两式分别对 x , y 积分有：,（25）,（23）,（24）,1-6-2 用复变函数表示的应力函数,或写成： 这就是复变函数表示的位移分量。这里： 这说明只要找到 , 应力和位移都可以求得。,（26）, 1-7 材料的变形模型, 1-7-1 简单拉伸的试验结果 应力应变关系 包辛格效应 1-7-2 材料单向受力的简化模型 （1）完全脆性模型 （2）理想弹塑性模型 （3）线性强化弹塑性模型 （4）幂指数硬化模型 （5）刚塑性模型 （6）Ramberg-osgood 模型, 应力应变曲线 金属材料拉伸变形的应力应变曲线有两种情况一种 是有明显的屈服极限；另外大多数材料没有明显的屈 服点。应力应变曲线一般可表示为 这里 ；卸载后基本按照与弹性部分同 样的斜率原返回。 Bauchinger effect: 一般拉伸屈服强度大于压缩屈服强度，即： s+ s- ; 压缩有相反的过程，s- s+ 。不等 号效应称为包辛格效应。 材料单向受力后的应力应变行为对不同材料是不同 的，同一种材料不同状态的行为也是不同的，在分析 应力应变行为时，目前已经提出了许多模型，比较典 型的有下列几种：, 1-7-1 简单拉伸的试验结果, 1-7-2 材料单向受力的简化模型,1、完全脆性模型： E 2、理想弹塑性模型： E 当： s s= E s 当： s 3、线性强化弹塑性模型： E1 当： s = s+ E2 (- s) 当： , 1-7-2 材料单向受力的简化模型,4、幂指数硬化模型： A和m 均为材料常数， m在0与1 之间。 5、刚塑性模型： =const., 1-7-2 材料单向受力的简化模型,6、Ramberg- Osgood 模型 上式 中 和 为 屈服应力和应变；右 半部分为两部份；第一部分为弹性部分，第二 部分为塑性部分。,表示应变硬化指数；,为材料常数。,上述材料的变形模型对于材料力学性能的计算机模拟例如 有限元的计算非常有用。, 1-8 材料的屈服条件, H. Tresca Criterion 最大剪应力理论 Von Mises Criterion 畸变能理论, 1-8 材料的屈服条件,H.Tresca Criterion 最大剪应力理论 这个理论假设，材料某点屈服发生的条件是材料在复杂应力状态下的最大剪 应力值达到了该材料简单拉伸时的最大剪应力值。,在1，2，3 的应力空间里代表一个六棱柱面（屈服面）。 若知，1 2 3 ；屈服条件变为 13 0 在纯剪的情况下，13k0，20 ； 则 k00.5 0,或, 1-8 材料的屈服条件,Von. Mises Criterion 畸变能理论 这个理论假设，材料某点屈服发生的条件是材料中一点的畸变能达到简拉伸屈 服时的畸变能。一般畸变能的表达式为： 一般情况： 单向拉伸： 10； 230,从而有：,在1，2，3 的应力空间里上式代表一个圆柱面（屈服面）。 在纯剪的情况下，13k0，20 ；则 k0 当 20；在双轴应力1，3平面， Mises Criterion 为一椭圆； 而 Tresca Criterion 是该椭圆的内接六边形。 在垂直于八面体平面 1230 （平面）； Mises Criterion 为一个圆， 而 Tresca Criterion 是该椭圆的内接正六边形。 轴线为：123；, 1-8 材料的屈服条件,第一章 结 束,调和函数与双调和函数,解析函数 的实部和虚部都满足Laplace方程： 称为调和方程。 称为调和函数。应力函数满足 称为双调和方程。 称为双调和函数。 事实上，对于解析函数有如下性质： 1、解析函数的导数和积分仍为解析函数。 2、若 都是调和函数，则它们的线性组合也是调和函数。 3、一个调和函数 必然是双调和函数。即若,Question During water quenching of steel components with a section thickness of 30 mm, heat transfer calculations indicate that a peak stress of 130 MPa is generated in the section. Prior to heat treatment, the components were ultrasonically inspected to detect defects. The inspection technique has a minimum detection size of 0.5 mm. a) What type of defect will be most critical? b) Calculate the size of defect which would cause fracture of the component during the quenching operation, given that the aspect ratio of the crack is 2c/a = 10. c) Would this inspection procedure guarantee integrity of the component if the quenching stresses approached the proof stress of the steel? Note that the value of the plane strain fracture toughness K1C = 30 MPa m1/2 and the proof stress = 620 MPa. The stress intensity calibration for this component and crack geometry is given in the figure below.,for surface flaws:,for embedded flaws:,