《概率统计》PPT课件.ppt

1.4 条件概率,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1.4.1、条件概率,条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,注1. 如果B, 则条件概率即为前面所定义的概率. 如果B ,则条件概率相当于将样本空间缩小为B.,注2.,事件 A 发生的条件下事件,B 发生的条件概率.,设A、B为两事件, P ( B ) 0 , 则,定义,称 为事件 B 发生的条件下事,件 A 发生的条件概率，记为,（1） 古 典 概 型: 可用缩减样本空间法;,（2） 其 它 概 型: 用定义与有关公式;,注3.条件概率的计算方法,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质:,有限可加性,可减性,例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女,孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大?,(假设生男,生女是等可能的),单调性,加法公式,半可加性,B=至少有一个女孩家庭 =(男,女)(女,男)(女,女),于是所求概率为,AB=至少有一个为女孩家庭中, 另一个小孩也是女孩 =(女,女),解：根据题意样本空间为,=(男,男)(男,女)(女,男)(女,女),例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此,类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的,解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上,概率是多少?,求P(A|B),AB,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,二、乘法公式,一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,(1) 设P(B)0，且AB，则下列必然成立的是( ) P(A)P(A|B) P(A)P(A|B),(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( ).,课堂练习,问题：由简单事件的概率推出复杂事件的概率.,方法：复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和.,定理 设B为随机试验 T 中的一复杂事件，,上述公式称为全概率公式,1.4.3、全概率公式,事件A1 ，A2 ， ，An构成一完备事件组, 则,A1,An,BA1,BA2,BAn,全概率公式,B,A2,应用乘法公式,例1 甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋,中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球,为白球的概率.,解,A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋”,则,P(B|A1)=4/6, P(B|A2)=3/6,根据全概率公式有,P(A1)=3/5, P(A2)=2/5,设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件,A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”,例甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞,机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 如果一人击中飞机,飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被,击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落；,求飞机被击落的概率.,解 以B表示事件“飞机被击落”，A0 表示事件“三人均,未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，,A2表示事件“三人中有两人击中飞机”， A3表示事,件“三人同时击中飞机”，则根据题意有,P(A0) =(10.4)(10.5) (10.7)=0.09,P(A1)=0.4(10.5)(10.7)+ 0.5(10.4) (10.7)+0.7(10.4)(10.5) =0.36,P(A2)=0.40.5(10.7)+0.50.7(10.4)+ 0.40.7(10.5)=0.41,P(A3)=0.40.50.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,根据全概率公式有,从上述几个例子可以看出：将结果视为B，,然后找出原因Ai, 再利用全概率公式。,1.4.4、Bayes公式,贝叶斯 Thomas Bayes，英国人.1702年,出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英,国皇家学会会员.1763年4月7日逝世.,贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他,首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯,统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算,等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代概率,论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作机,被沿用至今. 贝叶斯公式是他在1763年提出来的.,会的学说概论发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语,底患了A1，A2，,An中的哪一种病,以便对症下药.,例4（专家系统）医疗诊断中，为了诊断病人到,对病人进行观察检查，症状记为事件B,P(Ai)，表示生Ai病的概率,P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率,P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率,若P(Ai|B), i=1,2,n中,最大的一个是P(A1|B),我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:,Bayes公式,Remark:,后验概率,计算 P(Ai|B), i=1,2,n,上述公式称为Bayes公式.,定理 设B为一事件且P(B)0,事件A1, A2, ,An构成一完备事件组，且P(Ai )0, i=1,2,n，,则有,例 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04.,= 0.4,由Bayes公式得:,ABCA，问传输的是信号AAAA的概率等于多少？,A3表示事件“传输的字符为CCCC”，则根据题意有,例 通信渠道中可传输的字符为AAAA, BBBB,CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3、0.4、,0.3. 由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字母,的概率为0.6，收到其它字母的概率为0.2，假定字,母前后是否被歪曲互不影响，若收到的信号为,解 以B表示事件“收到ABCA”，A1表示“传输的字符,为AAAA”， A2表示事件“传输的字符为BBBB”，,P(A1)= 0.3, P(A2)=0.4, P(A3)=0.3, P(B|A1)=0.60.20.20.6=0.0144, P(B|A2)=0.20.60.20.2=0.0048, P(B|A3)= 0.20.20.60.2=0.0048,根据Bayes公式有,作业：习题1.4：:6，9,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,1.5、事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,定 义,设 A , B 为两事件，若,则称事件A与事件B 相互独立,注1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的,若,注2.若,则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)” 不能同时成立,注3.若,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,两事件相互独立的性质,试证其一,事实上,性质2 . A、B两个事件独立，则,三事件 A, B, C 相互独立,是指下面 的关系式同时成立：,(2),定义,注2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两两独立的事件组.,注1)三事件A, B, C 相互独立,要求满足(1)(2)式, 也称 A, B, C 为相互独立的事件组.,注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,两两独立的事件组未必是独立的事件组。,独立的性质,性质2.若 A1, A2, , An 相互独立, 则,例 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件,证,概率是多少？(这三种品质相互独立).,解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘,则所求概率为,根据题意有,即十亿分之一。,例 有一个单身汉，他梦想的姑娘有一笔直的鼻,梁，金色的头发，并有充分的概率统计知识，假,设对应的概率分别为0.01, 0.01, 0.00001, 那么他遇,到第一位姑娘(或随机挑一位)具有前三种品质的,例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解 将三人编号为1，2，3，,所求为,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1 , 2 , 3,已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4,1,2,=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),3,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.,S1:,S2:,注 利用导数可证, 当 时, 恒有,作业：习题1.5：:3，5,