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1 2 1 21 2 1 2 【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值 （人教 A 版）1、理解增函数、减函数 的概念及函数单调性的定义;2、会根据单调定义证明函数单调性;3、理解函数的最大（小）值及其几何意义;4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点:1、函数单调性的定义及单调性判断和证明;2、利用函数单调性或图像求最值.难点:根据定义证明函数单调性、一、 预习导入阅读课本 76-80 页,填写。 1增函数、减函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数 f( x) 的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的_ 两个自变量的值 x , x ,当 x x 时, 都有f( x ) _ f( x ) f(x ) _ f( x )那么就说函数 f( x ) 在区间 D 上 那么就说函数 f( x)在区间 D是增函数上是减函数图象 函数 f( x) 在区间 D 上的图象是 函数 f( x ) 在区间 D 上的图象特 _的征图示是_的0 2、单调性与单调区间如果函数 y f( x) 在区间 D 上是增函数或减函数 , 那么就说函数 yf( x) 在这一区间上具有 ( 严格 的)_,区间 D 叫做 yf( x)的_、点睛 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“”连接,而应该用“,”连接、如函数 y1x1在( ,0),( 0,)上单调递减,却不能表述为:函数 y 在( ,0)( 0,)上单调递减、x3、函数的最大（小）值最大值最小值条件结论一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果 实 数 M 满足：对于 的 xI，都有f(x) M f(x) M存在 x I，使得称 M 是函数 yf(x)称 M 是函数 yf(x)的最小值 的最大值几何 f(x)图象上最 点 意义 的纵坐标f(x)图象上最点的纵坐标1、判断( 正确的打“”,错误的打“”)( 1)所有的函数在其定义域上都具有单调性、 ( )( 2) 在 增 函 数 与 减 函 数 的 定 义 中 , 可 以 把 “ 任 意 两 个 自 变 量 ” 改 为 “ 存 在 两 个 自 变 量 ” 、 ( )( 3)任何函数都有最大值或最小值、 ( )( 4)函数的最小值一定比最大值小、 ( )2.函数 yf( x)的图象如图所示,其增区间是 ( )A、4,4 B、4,3,1,4C、3,1 D、3,43、函数 yf( x)在2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是1 1 ( )1A、1,0 B、0,2 C、1,2 D. ,224 、 下 列 函 数 f( x) 中 , 满 足 对 任 意 x ,x ( 0, ), 当 x x 时 , 都 有 f( x ) f( x ) 的 是1 2 1 2 1 2( )A、f( x)x2C、f( x)|x|1B、f( x)xD、f( x)2x125、函数 f( x) ,x2,4,则 f( x)的最大值为_;最小值为_、x题型一利用图象确定函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:( 1)y=3x-2; ( 2)y=- .𝑥跟踪训练一1. 已知 xR,函数 f( x)=x|x-2|,试画出 y=f( x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二利用函数的图象求函数的最值例 2 已知函数 y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二,0xg( 1-3t),求 t 的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例 6 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位:m）与时间 t（单位:s）之间的关系为 h（t）=-4.9𝑡 +14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂 的最佳时刻?这时距地面的高度是多少（精确到 1m）?跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.( 1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,能租出多少辆?( 2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?𝑓(𝑎 )𝑓(𝑏)1.f( x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有𝑎𝑏 0,则必有( )A、函数 f( x)先增后减 B、函数 f( x)先减后增C、函数 f( x)是 R 上的增函数 D、函数 f( x)是 R 上的减函数2.已知函数 f( x)x24xa,x0,1,若 f( x)的最小值为2,则 f( x)的最大值为( )A、1 B、0C、1 D、23、已知函数 f( x)4x2kx8 在区间( 5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数 k 的取值范围是( ) A、160,) B、( ,40C、( ,40160,) D、( ,2080,)4.若函数 yf( x)的定义域为 R,且为增函数,f ( 1a)f( 2a1),则 a 的取值范围是 。 5.f( x)是定义在0,)上的减函数,则不等式 f( x)f( 2x8)的解集是_、6.证明函数 f( x)=-x在定义域上为减函数.7.有一长为 24 米的篱笆,一面利用墙( 墙最大长度是 10 米)围成一个矩形花圃,设该花圃宽 AB 为 x 米,面积 是 y 平方米,( 1)求出 y 关于 x 的函数解析式,并指出 x 的取值范围;( 2)当花圃一边 AB 为多少米时,花圃面积最大?并求出这个最大面积?答案小试牛刀1、（1） （2） （3） （4） 2-4、C C B3、112x(2 x), x 2,1 2 1 1 1 2 1 2 ) += ( x -x )(1 -2 1𝑥 𝑥𝑥 𝑥= - 𝑥 )(𝑥 𝑥1 2. 自主探究例 1 【答案】见解析【解析】( 1)函数 y=3x-2 的单调区间为 R,其在 R 上是增函数.( 2)函数 y=-1x的单调区间为( -,0),( 0,+),其在( -,0)及( 0,+)上均为增函数.跟踪训练一【答案】单调增区间为( -,1,2,+);单调减区间为1,2x(x 2), x 2,【解析】f( x)=x|x-2|= 图象如下图所示.由图象可知,函数的单调增区间为( -,1,2,+);单调减区间为1,2. 例 2 【答案】最大值为 2,没有最小值.所以其值域为( -,2【解析】y=-|x-1|+2=3 x, x 1,函数图象如图所示 x + 1, x 1,由图象知,函数 y=-|x-1|+2 的最大值为 2,没有最小值.所以其值域为( -,2跟踪训练二【答案】( 1)见解析 （2）最小值为 f( 1)=1,无最大值 【解析】( 1)函数 f( x)的图象如图所示.( 2)由图象可知 f( x)的最小值为 f( 1)=1,无最大值.例 3【答案】见解析【解析】证明:设 x ,x 是区间( 0,1)内的任意两个实数,且 x x ,1 2 1 2则 f( x )-f( x )=(𝑥1+ )𝑥 (𝑥2+ )𝑥=( x -x𝑥 -𝑥 11 21 2 1 2)(𝑥1 2 1 2𝑥 𝑥-1)0x x 0,x x -10,x -x 0,即 f( x )f( x ). 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 12 4 41 2 1 21 2) = ( x -x) (1-1 2 1 2𝑥 𝑥𝑥 𝑥. 故函数 f( x)=x+ 在区间( 0,1)内为减函数.x跟踪训练三【答案】见解析【解析】 对于任意的 x ,x ( ,0),且 x x ,有 f( x )1 2 1 2 11 1 x2x2f( x ) x2 x2 x2x21 2 1 2x x x x2 1 2 1x2x21 2.x x 0,1 2x x 0,x x 0,x2x20.2 1 1 2 1 2f ( x )f ( x )0,即 f ( x )f ( x )、 1 2 1 21函数 f ( x) 在( ,0)上是增函数、x2对于任意的 x ,x ( 0,),且 x x ,有1 2 1 2f ( x )f( x ) 1 2x x2 1x2x21 2x x2 1.0x x ,x x 0,x x 0,x2x2 1 2 2 1 2 1 1 20.f( x )f( x )0,即 f( x )f( x )、1 2 1 21函数 f( x) 在( 0,)上是减函数、x2例 4 【答案】见解析【解析】( 1)设 x ,x 是区间1,2上的任意两个实数,且 x x ,1 2 1 2则 f(x ) -f(x ) =x -x +𝑥 𝑥4 (𝑥 -𝑥 )(𝑥 𝑥1 21 2 1 2-4 )x x ,x -x 0.当 1x 0,1x x 4,1 2 1 2 1 2 1 2 1 2即 x x -4f( x ),即 f( x)在区间1,2上是减函数.1 2( 2)由( 1)知 f( x)的最小值为 f( 2),f( 2)=2+ =4;f( x)的最大值为 f( 1). f( 1)=1+4=5,f( x)的最小值为 4,最大值为 5.跟踪训练四2 1 3 2 2 ) + , 3 3 1 1 11 【答案】见解析【解析】设 x ,x 是区间2,6上的任意两个实数,且 x x ,则 f( x )f( x )1 2 1 2 1 22 2 x 1 x 11 22 x 1 x 1 x 1 x 11 22 x x2 1x 1 x 11 2.由 2x x 6,得 x x 0,( x 1)( x 1)0,于是 f( x )f( x ) 0,即 f( x )f( x )、 所以函 1 2 2 1 1 2 1 2 1 22数 f( x) 是区间2,6上的减函数、x12因此,函数 f( x) 在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值,即在 x2 时取得最大值,最大x1值是 2,在 x6 时取得最小值,最小值是 0.4.例 5【答案】f( )f( a2-a+1).4【解析】a -a+1=(a 1 3 32 4 4 与 a2-a+1 都是区间( 0,+)上的值.4f( x)在区间( 0,+)上是减函数,f( )f( a2-a+1).4跟踪训练五【答案】t 的取值范围为( ,1.4【解析】g( x)是-2,2上的增函数,且 g( t)g( 1-3t), -2t2,-21-3t2,t 1 3t,-2t2,即 -13 t 1,t 14, t1.t 的取值范围为( ,1. 4 4例 6【答案】t 的取值范围为( ,1.4【解析】画出函数 h（t）=-4.9x2+14.7t+18 的图象（图 3.2-4）.显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度。36003000) (𝑥-3 000𝑥 21 2 8 跟踪训练六【答案】见解析【解析】( 1)当每辆车的月租金为 3 600 元时,未租出的车辆数为 =12,所以此时租出了 88 辆.50( 2)设每辆车的月租金为 x 元,租赁公司的月收益为 y=(100整理得 y=- +162x-21 000 50=- ( x-4 050)2+307 050.50𝑥-3 00050x-150)- 50,50所以当 x=4 050,即每辆车的租金为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是 307 050 元.当堂检测1-3、CCC4、(3, +)4. x4.36、【答案】见解析【解析】函数 f( x)=-x的定义域为0,+).设 x ,x 是0,+)上的任意两个实数,且 0x 0, 1 2 1 2 2 12 2 1 1 21 21 21 =f( x )-f( x )=( -x )-( -x x x1)=( x1 -x 2 )( x 1 +x 2 x 1 +x 2)=x -x x 1 + x 2.x -x 0,f( x )-f( x )0,即 f( x )f( x ).2 1 2 1函数 f( x)=-x在定义域0,+)上为减函数. 7. 【答案】见解析【解析】( 1)如图所示:0242x10,7x12,yx( 242x)2x224x,( 7x12)、( 2)由( 1)得,y2x224x2( x6)272, AB6 m 时,y 最大为 72 m2.
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