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期中复习一向量有关概念：1向量的概念2零向量3单位向量()；4相等向量5平行向量（也叫共线向量）零向量和任何向量平行。6相反向量二向量的表示方法：1几何表示法：如 2符号表示法：如；3坐标表示法： 三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。如（1）ABC中，则_ （答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则等于_ （答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）3在上的投影为=，它是一个实数，但不一定大于0。4向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，；当为钝角时，0，且不反向非零向量，夹角的计算公式：；。如:（答：或且）；（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_六向量的运算：1几何运算：“平行四边形法则” “三角形法则”2坐标运算：设，则：， 若，则 若，则。七向量平行(共线)的条件：0。如(1)设，则k_时，A,B,C共线 （答：2或11）八向量垂直的充要条件： .如(1)已知，若，则 （答：）；(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ (3)已知向量，且，则的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）；（答：）九、向量中一些常用的结论：（1）在中，若，则其重心的坐标为。为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（2）向量中三终点共线存在实数使得且.（二）解三角形： (1)内角和定理：三角形三角和为， (2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如：（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （答：C）；（2）中，若，判断的形状 （答：直角三角形）。（3）在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C （4）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （二）数列：1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。如：设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。（2）等差数列的通项：或。如等差数列中，则通项；首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 ；（3）等差数列的前和：，。如数列 中，前n项和，则， ；已知数列 的前n项和，求数列的前项和.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。2.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如等差数列中，则_ ； (4) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_；等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 ；3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。如一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_；数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：是等比数列。（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，前项和126，求和公比. （3）等比数列的前和：当时，；当时，。如等比数列中，2，S99=77，求；（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。A2=ab4.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如在等比数列中，公比q是整数，则=_；各项均为正数的等比数列中，若，则 。(2) 若是等比数列，则数列 ，也是等比数列。 如在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_ ；5.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_；已知（即）求，用作差法：。如已知的前项和满足，求；数列满足，求已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_ ；若求用累加法：。如已知数列满足，则=_ ；已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求； 已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求；已知数列满足=1，求；注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求；6.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，如等比数列的前项和S2，则_ ；（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如 已知，则_；（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法 如 数列中，成才 p30（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；如求和： ；在数列中，且S，则n_ ；解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。
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