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第八节函数与方程,主干回顾 夯基础,一、函数的零点 1定义 对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点 2函数的零点与方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_,f(x)0,x轴,零点,3函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_ 内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是方程f(x)0的根,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,二、二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),三、用二分法求方程的近似解 1二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,f(a)f(b)0,一分为二,零点,2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间a，b验证f(a)f(b)0；给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点值c； (3)计算f(c)； 若f(c)0，则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； 若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) (4)判断是否达到精确度.即：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第(2)(3)(4)步,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 1函数的零点就是函数的图象与x轴的交点() 2函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.() 3二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点() 4二分法可用来求出所有情况的零点的近似值() 5若函数有零点，则相邻两个零点间的所有函数值同号(),【答案及提示】 1函数的零点即为函数图象与x轴交点的横坐标，零点不是点错误 2如yx2在(1,1)上有零点，而f(1)f(1)0，错误 3由判别式知正确 4对于函数yx2的零点不能用二分法求解，二分法的前提是要求在零点左右的函数值异号，错误 5正确,1已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_ 解析：(2,0)函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点， 又f(x)x2xa在区间(0,1)上单调递增， f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.,2已知函数f(x)ln xx2有一个零点所在的区间为(k，k1)(kN*)，则k的值为_ 解析：3f(1)10，f(2)ln 20，f(3)ln 310，f(4)ln 4 20，故f(3)f(4)0，所以函数的一个零点所在区间为(3,4)，因此k3.,3(课本习题改编)函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续的且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值() A大于0B小于0 C等于0D无法确定 解析：选D因为f(x)在(2,2)有一个零点，不能说明f(2)f(2)的符号；如f(x)x2，更不能判断f(1)f(1)的值故选D.,解析：选C由题意知f(2)f(3)0，故零点所在区间为(2,3)，选C.,5(2012天津高考)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是() A0B1 C2D3 解析：选B先判断函数的单调性，再确定零点的个数 因为f(x)2xln 23x20，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点,考点技法 全突破,(1)(2013湖南高考)函数f(x)ln x的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为() A0B1 C2D3 解析：选C利用图象知两函数图象有 两个交点故选C.,函数零点的求解与判断,(1)(2014怀化模拟)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为_,二分法及其应用,(2)(2014济南模拟)若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下(精确度为0.1)： 那么方程x3x22x20的一个近似根(保留3位有效数字)为_,解析：1.41(答案不唯一)f(1.375)0.2600，且1.437 51.3750.062 50.1，所以，方程x3x22x20的一个近似根为1.41.,用二分法求函数的零点在某精确度下的近似值时，首先要熟悉用二分法求函数零点的一般步骤；其次要注意正确计算，不能有小的计算失误；第三要明确精确度，根据精确度终止计算,3(2014开封模拟)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(),解析：选CA中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象，故选C.,4(2014徐州模拟)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_ 解析：(0,0.5)f(0.25)因为f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号,(1)(2011辽宁高考)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_ 解析：(，2ln 22f(x)ex2xa， f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.,函数零点的应用,当xln 2时，f(x)0，函数f(x)在(ln 2，)上是增函数 故f(x)minf(ln 2)22ln 2a. 若函数f(x)有零点，则f(x)min0. 即22ln 2a0，a2ln 22.,【互动探究】 将本例(1)改为“若函数f(x)ln xxa有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_”则如何求解？,由函数零点(方程根)的情况求参数范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域(最值)问题解决 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,学科素能 重培养,跨越易错误区系列之(三) 函数零点判定定理使用不当致误 【典例】(2013重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间() A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内 易错分析解本题易出现根据a，b，c的大小关系进行判断函数值的符号，或错误利用零点存在性定理，而错选B、C、D.,解析：选A方法一：令y1(xa)(xb)(xb)(xc)(xb)2x(ac)，y2(xc)(xa)，由a0，f(b)(bc)(ba)0.显然f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.,温馨提示1.解题中易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值等准确互化 2函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题,解析：选D设1x0，则0 x1，由已知，得f(x)(x)2x2f(x)， 则f(x)x2，x1,1 因为f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数， 所以f(x)(x2k)2，x2k1,2k1(kZ) 函数g(x)f(x)(xm)有两个零点，等价于直线yxm与曲线yf(x)恰有两个交点,点击按扭进入WORD文档作业,课时跟踪检测,谢谢观看！,
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