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4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切 要点梳理 1.cos（-）=cos cos +sin sin (C-) cos(+)= (C+) sin(-)=sin cos -cos sin (S-) sin(+)= (S+),cos cos -sin sin ,sin cos +cos sin ,基础知识 自主学习,前面4个公式对任意的，都成立，而后面两个 公式成立的条件是 (T+需满足), (T-需满足) kZ时成立，否则是不成立的.当 tan 、tan 或tan（）的值不存在时， 不能使用公式T,处理有关问题，应改用诱导 公式或其它方法来解.,2.要辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进 行适当的变换：=(+)-,=(-) +，2=（+）+（-）， 2=（+）-（-）等等. 3.二倍角公式 sin 2= ; cos 2= = = ; tan 2= .,2sin cos ,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,4.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用 公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用 等.如T可变形为： tan tan = , tan tan = 5.函数f（）=acos +bsin (a,b为常数)，可以 化为f（）= 或f（）= ，其中可由a，b的值唯一 确定.,tan()(1tan tan ),=,.,基础自测 1.cos 43cos 77+sin 43cos 167的值为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=cos 43cos(90-13) +sin 43cos(180-13) =cos 43sin 13-sin 43cos 13 =sin(13-43)=-sin 30=,B,2. ( ) 解析 由已知可得,C,3.（2009陕西理，5）若3sin +cos =0, 则 的值为（ ） A. B. C. D.-2 解析 3sin +cos =0,则,A,4.已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan 2 等于（ ） A. B. C. D. 解析 tan 2=tan(+)+(-),D,5.（2009上海理，6）函数y=2cos2x+sin 2x的最 小值是 . 解析 y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x y最小值=1- .,题型一 三角函数式的化简、求值 (1)从把角变为 入手,合理使用 公式. (2)应用公式把非10角转化为10的角,切 化弦.,题型分类 深度剖析,解 （1）原式,（1）三角函数式的化简要遵循“三看” 原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征. （2）对于给角求值问题，往往所给角都是非特 殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值.,知能迁移1 解,题型二 三角函数的给值求值 角的变换：所求角分拆成已知角的 和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系. 解,角的变换：转化为同角、特殊角、已 知角或它们的和、差、两倍、一半等；如 =(+)-=(-)+,2=(+)+ (-)等； 函数变换：弦切互化，化异名为同名. 综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范 围对函数值的影响.当出现互余、互补关系，利用 诱导公式转化.,知能迁移2 已知,( ),解析,答案 A,题型三 三角函数的给值求角 已知tan(-)= ,tan = , 且,(0,),求2-的值. 对角2-拆分为+(-);拆 分为(-)+,先求tan ,再求tan(2-). 解,2-=+(-)(-,0). tan(2-)=tan+(-),(1)通过求角的某种三角函数值来求 角,在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数 值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦 或余弦函数；若角的范围是 ，选正、余弦 皆可；若角的范围是（0，），选余弦较好； 若角的范围为 ，选正弦较好. （2）解这类问题的一般步骤为： 求角的某一个三角函数值； 确定角的范围； 根据角的范围写出所求的角.,知能迁移3 已知 (1)求sin 的值； (2)求的值. 解,题型四 三角函数的综合应用 （12分）已知、为锐角，向量a= (cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c (1)若ab= ,ac= ,求角2-的值; (2)若a=b+c，求tan 的值. （1）由 及a,b, c的坐标，可求出关于、的三角函数值，进 而求出角. （2）由a=b+c可求出关于、的三角恒等式， 利用方程的思想解决问题.,解 （1）ab=（cos ，sin ） （cos ，sin ） =cos cos +sin sin ,2分,4分,6分,8分,10分,（1）已知三角函数值求角，一定要 注意角的范围. （2）求有关角的三角函数问题，有时构造等式， 用方程的思想解决更简单、实用.,12分,知能迁移4（2009广东理，16）已知向量a= (sin ,-2)与b=(1,cos )互相垂直,其中 (1)求sin 和cos 的值;,解,方法与技巧 1.巧用公式变形： 和差角公式变形：tan xtan y=tan(xy) (1tan xtan y); 倍角公式变形:降幂公式 配方变形：,思想方法 感悟提高,2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期. y=asin +bcos = (+)(其 中tan = )有: 3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变 角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能 减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、 化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、 所求（或所证明）问题的整体形式中的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形.,4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值 的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后 再加减，观察是不是常数角，只要是常数角， 就可以从此入手，给这个等式两边求某一函 数值，可使所求的复杂问题简化！ 5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重 视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构, 更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会 公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公 式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其变形.,失误与防范 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注 意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次 的灵活运用，要注意“1”的各种变通. 2.在(0,)范围内，sin(+)= 所对应的 角+不是唯一的. 3.在三角求值时，往往要估计角的范围后求值.,一、选择题 1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值 为 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=sin 45cos 15-cos 45 sin 15,C,定时检测,2.,（ ）,解析,B,3.,（ ）,解析,A,4.已知向量,( ),解析,B,5.,（ ）,解析,A,6.在ABC中,角C=120,tan A+tan B= ，则 tan Atan B的值为 ( ) A. B. C. D. 解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120= ,B,二、填空题 7. . 解析,8. . 解析,2,9. 已知,.,解析,三、解答题 10.化简：,解,11.已知函数 (1)求f(x)的周期和单调递增区间； (2)若关于x的方程f(x)-m=2在 上有解, 求实数m的取值范围. 解,12.已知向量a=(3sin ,cos ),b=(2sin , 5sin -4cos ), (1)求tan 的值； 解 （1）ab，ab=0. 而a=(3sin ,cos ), b=(2sin ,5sin -4cos ), 故ab=6sin2+5sin cos -4cos2=0. 由于cos 0,6tan2+5tan -4=0.,且ab.,返回,
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