二、直线运动

8、匀变速直线运动的速度及速度时间图象可由，即匀变速直线运动的速度公式，如知道t = 0时初速度v0和加速度大小和方向就可知道任意时刻的速度。应指示，v0 = 0时，vt = at（匀加），若，匀加速直线运动，匀减速直线运动vt = v0at，这里a是取绝对值代入公式即可求出匀变速直线运动的速度。匀变速直线运动速度时间图象，是用图象来描述物体的运动规律，由匀变速直线运动速度公式：vt = v0 + at，从数学角度可知vt是时间t的一次函数，所以匀变速直线运动的速度时间图象是一条直线即当已知：v0 = 0(或)a的大小给出不同时间求出对应的vt就可画出。从如右图图象可知：各图线的物理意义。图象中直线过原点直线是v0 = 0，匀加速直线运动，图象中直线是，匀加速直线运动。图象是匀减速直线运动。速度图象中图线的斜率等于物体的加速度，以直线分析，tga，斜率为正值，表示加速度为正，由直线可知v = v2v1 v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsin，小球a第一阶段的加速度跟小球a/第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a/第一阶段的加速度大小相同（设为a2），根据图中管的倾斜程度，显然有a1 a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同（纵坐标相同）。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1s2，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等（图中vm），球a/ 的速度图象只能如蓝线所示。因此有t1 t2，即a球先到。规律1、匀变速直线的规律基本公式：速度公式：位移公式：速度位移关系公式：平均速度公式：匀变速直线运动中牵涉到v0、vt、a、s、t五个物理量，其中只有t是标量，其余都是矢量。通常选定v0的方向为正方向，其余矢量的方向依据其与v0的方向相同或相反分别用正、负号表示。如果某个矢量是待求的，就假设其为正，最后根据结果的正、负确定实际方向。匀变速直线运动的一些重要推论做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度做匀变速直线运动的物体在某段位移中点的瞬时速度等于初速度v0和末速度vt平方和一半的平方根连续相等时间内的位移差等于恒量：s2-s1=s3-s2=sn-sn-1=at2。初速度为零的匀加速直线运动的重要特征：连续相等时间末的瞬时速度比：vt：v2t：v3t：vnt1：2：3：n。ts，2ts，nts内的位移比：st：s2t：snt1：4：9：n2。连续相等时间内的位移比：s1：s2：sn1：3：5：（2n-1）。通过连续相同位移所用时间之比：t1：t2：tn1：（例题：汽车从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t1后改做匀减速直线运动。匀减速运动经过时间t2汽车停下来。汽车的总位移为S，汽车在整个运动过程中的最大速度为_。 解析：汽车的 v-t图如图所示，图中的v即所求的最大速度。因为前后两段运动的平均速度都等于，故由下式来解题 即： 此题还可以由图线来解，因v-t图的三角形面积即表示总位移，故： S=v(t1+t2) 即 答：此题应填。例题：一质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度为a1的匀加速直线运动，接着以加速度a2做匀减速运动，抵达B点时刚好停止，苦AB长度是S，则质点运动所需时间为_。 解析：设v是质点做匀加速运动的末速度 v=a1t1 v又是质点做匀减运动的初速度，故 0=v-a2t2 v=a2t2 质点运动所需时间t与t1、t2关系 t=t1+t2 由式联立可得 由平均速度的公式 将式代入式 再把式代入上式 质点运动所需时间 答：此题应填。例题： 两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知A.在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同B.在时刻t1两木块速度相同C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬间两木块速度相同D.在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同解析：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动。由于t2及t5时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t3、t4之间，因此本题选C。例题：物体在恒力F1作用下，从A点由静止开始运动，经时间t到达B点。这时突然撤去F1，改为恒力F2作用，又经过时间2t物体回到A点。求F1、F2大小之比。解析：设物体到B点和返回A点时的速率分别为vA、vB， 利用平均速度公式可以得到vA和vB的关系。再利用加速度定义式，可以得到加速度大小之比，从而得到F1、F2大小之比。画出示意图如右。设加速度大小分别为a1、a2，有： a1a2=45，F1F2=45 特别要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定义式中的速度都是矢量，要考虑方向。本题中以返回A点时的速度方向为正，因此AB段的末速度为负。2、运动学中的追赶问题匀减速运动物体追赶同向匀速物体时，恰能追上或恰好追不上的临界条件：即将追及时，追赶者速度等于被追赶者速度（也就是追赶者速度大于或等于被追赶者速度时能追上；当追赶者速度小球被追赶者速度时，追不上）初速度为零的匀加速运动物体追赶同向匀速运动物体时，追上之前两者具有最大距离的条件是：追赶者速度等于被追赶者的速度。被追的物体作匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动。3、自由落体运动定义：不计空气阻力，物体由空中从静止开始下落的运动。自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。地球表面附近的重力加速度g的大小一般取9.8m/s2；粗略计算时可取g=10m/s2，g的方向为竖直向下。自由落体的运动规律 （1） （2） （3） （4）由于自由落体的初速度为零，故可充分利用比例关系。例题：从楼顶上自由落下一个石块，它通过1.8m高的窗口用时间0.2s，问楼顶到窗台的高度是多少米？（g取10m/s2）解法一：设楼顶到窗台（窗口下沿）的高度为h，石块从楼顶自由下落到窗台用时间t，则有下列二式成立 h=gt2(1) h-1.8=g(t-0.2)2(2) 由(1)与(2)联立解得t值 t=1s 代入(1)式可得 h=5m 解法二：设石块通过窗口上沿的瞬时速度为v0，通过窗口下沿的瞬时速度为v2。石块从窗口上沿到下沿做初速度不为零的匀加速直线运动，且加速度为g，设窗口高为h1，则 h1=vot1+g(1) 式中t1为石块通过窗口的时间。由(1)式可解得再用速度与位移关系求vt 这个vt也是石块从楼顶自由落下到窗台时的瞬时速度。设楼顶到窗台的高度为h 例题：物体从某一高度自由落下，到达地面时的速度与在一半高度时的速度之比是： (A):1(B):2(C)2:1(D)4:1解法一：设物体距地面高为h，自由落下到达地面时间为t，速度为vt h=gt2(1) vt=gt(2) 由(1)与(2)式可解得 (3) 若物体仍由原处开始自由下落至h=处速度为，则 由(3)与(4)联立可得 解法二：由开始时刻计时，物体通过连续相等的、相邻的位移的时间之比为 t1:t2:tn=():(:):() 可知：t1:t2=():(:) 而由速度公式：vt=g(t1+t2) =gt1 答：此题应选(A)。4、竖直下抛运动。定义：物体只在重力作用下，初速度竖直向下的抛体运动叫竖直下抛运动。竖直下抛运动是沿竖直方向的匀加速直线运动。且加速度为g（= 9.8m/s2）。竖直下抛运动的规律： （1） （2） （3） （4）5、竖直上抛运动定义：物体以初速度v0竖直向上抛出后，只在重力作用下而做的运动。三种常见的处理方法：分段法：将整个竖直上抛运动可分为两上衔接的运动来处理，即上升运动和下落运动上升运动：从抛出点以初速度为v0，加速度为g的匀减速直线运动。（tv0/g）下落运动：从最高点开始为自由落体运动。（当tv0/g时作自由落体的运动时间为t=t-v0/g）。整体法：将上升阶段和下落阶段统一看成是初速度向上，加速度向下的匀减速直线运动，其规律按匀减速直线运动的公式变为：特别要注意的是：上述三式中均是取v0的方向（即竖直向上）为正方向。即速度vt向上为正，向下为负（过了最高点以后）；位移h在抛出点上方为正，在抛出点下方为负。从运动的合成观点看：是竖直向上以v0为速度的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动的合运动。竖直上抛运动的几个特点：物体上升到最大高度时的特点是vt = 0。由公式可知，物体上升的最大高度H满足： 上升到最大高度所需要的时间满足： 。物体返回抛出点时的特点是h = 0。该物体返回抛出点所用的时间可由公式求得： 将这个结论代入公式，可得物体返回抛出点时的速度：这说明物体由抛出到返回抛出点所用的时间是上升段（或下降段）所用时间的二倍。也说明上升段与下降段所用的时间相等。返回抛出点时的速度与出速度大小相等方向相反。从前面两个表对比可以看出竖直上抛的物体在通过同一位置时不管是上升还是下降物体的速率是相等的。竖直上抛运动由减速上升段和加速下降段组成，但由于竖直上抛运动的全过程中加速度的大小和方向均保持不变，所以竖直上抛运动的全过程可以看作是匀减速直线运动。例题：一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面。此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0.45m达到最高点。落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计。）从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是_s。（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点。g取为10m/s2，结果保留二位数字。） 解析：由图来看人的重心在跳水过程由A到B做竖直上抛运动，然后由B经C到D做自由落体运动。人的身高虽未给出，但不影响计算。 因由A竖直上抛到B的时间等于由B自由落下到C的时间，所以上升时间 人重心由B到D自由落下的时间 人完成空中动作的时间为t=t1+t2 =0.3s+1.45s =1.75s 本题要求学生首先要明确这一物理过程，然后将之转换成合理的物理模型。其次要掌握人重心位置的变化，了解人的身高（未给出）并不影响问题的解决。例题：物体A从80m高处自由下落，与此同时在它正下方的地面上以40m/s的初速度竖直向上抛出物体B。试分析二者经历多长时间在何处相遇？（空气阻力不计，g取10m/s2） 解析：物体A自由下落，落至地面时 物体B竖直上抛至最高点所需时间为 因此，A、B相遇经历的时间小于4s。 解：物体A距地面高为H=80m。设二者经时间t在距地面高为h处相遇。A物体做自由落体运动 H-h=gt2(1) B物体做竖直上抛运动 h=v0tgt2(2) 将(2)式代入(1)式可得 H=v0tgt2+gt2=v0t t=2s h=v0tgt2 =60m