静定结构的位移计算.ppt

第十五章 静定结构的位移计算,一、杆件结构的位移,变形：,结构形状的改变,位移：,结构上各点位置的移动量，杆件横截面的转动量。,位移,线位移,角位移,水平线位移,竖向线位移,线位移,第一节 概 述,结构的位移,引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,结构的位移,相对线位移、相对角位移,A、B两截面的角位移A和B之和称为A、B两截面的相对角位移。即AB =A+B,上述各种位移统称为“广义位移”。,为什么要计算 位移?,C、D两点产生水平线位移之和称为C、D两点的水平相对线位移。即 CDH =CH+DH,结构的位移,二、计算位移的目的,1) 校核结构的刚度,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,3)为求解超静定结构提供位移条件。,2）施工过程中对结构的位移进行计算和监控；,结构的位移,三、位移分析的有关假定,1) 小位移和小变形假设,2) 线弹性假设,3) 刚结点假定,结构的位移,功：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。,一、功、广义力和广义位移,第二节 变形体的虚功原理,常力偶所做的功等于力偶矩与角位移的乘积。,虚功原理,功等于广义力与广义位移的乘积。,广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶；,当广义力F与相应广义位移方向一致时，做功为正；两者方向相反时，做功为负。,广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。,虚功原理,1）功是标量；,2）功所对应的力和位移具有时间匹配性；,3）功所对应的力和位移具有空间匹配性；,虚功原理,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,二、虚功,虚功原理,实功,虚功,力(外力或内力）在因其本身引起的位移（对内力而言则为变形）上所作的功。,实功恒为正。,力（外力或内力）在因其它原因产生的位移上作的功。,如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。,ij,虚功原理,虚功强调：,在虚功中可将做功的力与位移看成是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，,做功的力与位移无关。,功包含了两个要素力和位移。,其中力系所属状态称为力状态或第一状态， 位移所属状态称为位移状态或第二状态。,虚功原理,虚功原理具体应用的两种方式,（1）对于给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力。,（2）对于给定的位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的未知位移,虚功原理,虚功原理,三、刚体的虚功原理,力系在虚位移上所作的虚功总和为零。,可见与初始假设的位移无关，故可以令其为单位位移以便于计算。,虚功原理,例：用刚体虚位移原理求解C支座反力及B截面弯矩。,解：欲求C支座反力，则应去掉C支座处的约束，使原结构成为可变的机构体，并使其发生单位位移。,虚功原理,注意正负号表示的意义。,同理，要求B处弯矩，则解除B处的弯曲约束，换为铰连接，给定初始位移1。,注意正负号表示的意义。,步骤： 1）去掉约束并回代相应反力； 2）沿相应反力方向给一初始单位位移，并作出机构变形后的图； 3）列虚功方程，求出未知力。,虚功原理,例：已知B支座竖向上发生微小位移，试求C铰两侧相对转角及D点水平位移。,虚功原理,例：在D处施加一单位力，如图，此时求得B支座支反力为：,解：在C处施加一对单位力矩，如图。此时求得各支座支反力为：,列出虚功方程得：,列出虚功方程得：,虚功原理,四、变形体的虚功原理,虚功原理：第一状态的外力（包括荷载和反力）在第二状态所引起的位移上所做的外力虚功，等于第一状态内力在第二状态内力所引起的变形上所做的内力虚功。,虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件； 位移状态必须满足协调条件。,外力虚功W12=内力虚功,虚功方程,虚功原理,一、单位荷载法,虚力原理的两个状态,位移状态,实际状态,力状态,虚拟状态,位移状态,位移,由给定的荷载、温度变化及支座移动等因素引起的,力状态,在拟求位移k的方向假想（虚拟）设置一个单位力FPk1。,结构位移计算,第三节结构位移计算的一般公式,外力虚功：,结构位移计算,位移状态,力状态,内力虚功：,由材料力学有：,外力虚功：,内力虚功：,结构位移计算,平面杆件结构位移计算的一般公式。,由虚功原理W=W有,二、设置单位荷载时应注意的问题,1、虚拟单位力FP1必须与所求位移相对应,求A点竖向线位 移的虚拟状态,求两点相对线位 移的虚拟状态,结构位移计算,求A截面角位 移的虚拟状态,求两截面相对角 位移的虚拟状态,求C点水平位移的虚拟状态,求BE杆转角的虚拟状态,结构位移计算,求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态,2. 虚拟单位力的方向可以可以任意假定，若计算结果为正，表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致；反之，则实际位移方向与虚拟力的方向相反。,结构位移计算,根据材力公式：,因无支座移动：,第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算,式中,、 、 虚拟状态中由于广义单位荷载所产生的内力；,MP、FQP、FNP由于实际荷载作用所产生的内力。,结构位移计算,位移计算公式的简化,1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：,2、桁架（只考虑轴力影响）：,结构位移计算,3、拱：一般只考虑弯曲变形 对扁拱： （f/l=1/5）,4、组合结构：,结构位移计算,荷载法计算结构位移的步骤：,(1) 在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。 (2) 求两种状态下的内力。 (3) 代入各种结构的位移计算公式计算。,结构位移计算,例 求图示桁架(各杆EA相同)C点竖向位移。,解：1. 建立虚设状态；,2. 分别求两种状态各杆轴力；,3. 由公式计算位移：,结构位移计算,结构位移计算,第五节 图乘法,图乘法,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,MP图,(1)因为是直杆，所以 可用dx代替ds。,(2)因为EI是常数，所以 EI可提到积分号外。,为直线变化，故 有,=,=,图乘法,有,上述积分就等于一个弯矩图的面积乘于其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc ，再除于EI。,=,=,若结构上各杆均可图乘，则位移计算公式为,而,图乘法,注意事项：,1. 图乘法的应用条件：,（2）EI为常数；,图乘法计算位移公式,（1） 杆轴为直线；,图乘法,2. 竖标yc必须取自直线图形，而不能从折线和曲线中取值。,图乘法,若M图与MP图都是直线图形，则yc可以取自其中任一图形。,图乘法,M图,MP图,3. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,图乘法,4. 若Mp图是曲线图形， 图是折线图形，则应 当从转折点分段图乘，然后叠加。,图乘法,6. 如图形较复杂，可分解为简单图形。,5. 当杆件为变截面时亦应分段计算。,图乘法,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,几种常见图形的面积和形心位置,=hl/2,图乘法,M图,MP图,l,图乘法,图乘法,1高高底,1/2高高底,1/3高高底,1/6高高底,1/4高高底,1/12高高底,5/12高高底,1/4高高底,使用乘法时应注意的问题小结： 1. yC必须取自直线图形； 2. 若MP图是曲线图形，当M为折线图形时，必须分段计算； 3. 当杆件为变截面时亦应分段计算； 4. 图乘有正负之分； 5. 若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形； 6. 图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘； 7. 三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。,图乘法, 将、yc代入图乘公式计算所求位移。, 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp图。, 分段计算Mp（或 ）图面积及其形心所对应的 （或Mp）图形的竖标值yc。,图乘法的解题步骤,图乘法, 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力，并画出其单位弯矩图 图。,例 求梁B截面转角。,MP图,（ 1）绘制MP图。,（ 2）建立相应的虚拟状态,绘制 。,（ 3）图乘求位移。,图乘法,例 求梁B点竖向位移。,MP图,（1）绘制MP图。,（ 2）建立相应的虚拟状态,绘制 。,（ 3）图乘求位移。,图乘法,解：,（ 1）绘制MP图。,1. 求A端截面的转角,（ 2）建立相应的虚拟状态,绘制 。,（ 3）图乘求转角。,求图示简支梁A端截面的转角 及跨中竖向位移 。,例,图乘法,2 . 求跨中截面的竖向位移,由对称性可得：,（ 1）绘制MP图。,（ 2）建立相应的虚拟状态,绘制 图。,（ 3）图乘求位移。,图乘法,求图示悬臂梁B点的竖向位移 。,60,2,图乘法,（ 1）绘制MP图。,（ 2）建立相应的虚拟状态,绘制 图。,（ 3）图乘求位移。,例 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点距离的改变 。,图乘法,3）图乘求位移,解 1）绘出MP图;,图乘法,对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的位移纯属刚体位移。,由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为,由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、dv=0 ，于是上式可简化为：,第六节 静定结构在支座移动时的位移计算,支座移动时的位移计算,静定结构在支座移动时的位移计算公式,注意 (1)公式中有一不可缺少的负号；,式中 虚拟状态的支座反力； c 实际状态的支座位移。,(2)虚设状态的反力与实际状态的位移方向一致时， 、c乘积为正，否则为负。,支座移动时的位移计算,例 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移c=0.5cm，求c点的水平位移CH。,解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用下可动铰支座的反力，并由公式求位移,支座移动时的位移计算,第 一 状态,一、功的互等定理,互等定理,第七节 线弹性体系的互等定理,第 一 状态,在线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所做虚功，恒等于第二状态外力在第一状态位移上所做虚功。,功的互等定理,互等定理,第二个单位力所引起的在第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的在第二个单位力作用点沿其方向的位移。,凡单位力引起的位移 都改用小写字母表示,二、位移互等定理,互等定理,如图长 l ，EI为常数的简支梁。,数值、量纲都相等,单位力FP1 、FP2是广义力， 则是相应的广义位移.,互等定理,三、反力互等定理,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座 2 发生单位位移时所引起的支座1的反力。,k21,k12,互等定理,