资源描述
作业参考答案,2013年9月,设质点在势能场U(r)中运动,在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程。,解:拉格朗日方程为:,L为拉格朗日函数,笛卡尔坐标中的坐标变量为 ,那么,所以,,带入拉格朗日方程得到,这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 即牛顿第二定律,已知柱坐标 与笛卡尔坐标的关系是,如图设质点在轴对称势能场 中运动,写出其拉格朗日方程。,解:由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知,等式两边同时除以dt,那么,系统的动能为,那么,系统的拉格朗日函数为,所以,带入拉格朗日方程,则有:,长度为l的细绳系一小球,悬挂点按照 方式运动,如图所示,小球被限制在 平面内运动, 时悬线竖直向下。 (a)求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 (b)已知在这一时刻的角速度为 ,求经过 时间后的位移 。问:当 时, 与 有何差别?,(a)在任意时刻,约束所容许的位移为虚位移,途中的小球,受到细绳的和自身重力的约束,在这个时刻,,解:,x,小球只能围绕O点作圆周运动,当偏离角为 时,对应的虚位移为 。,(b)小球经过 时间后的位移,可以看作由两部分组成: (1)小球绕O点作圆周运动所产生的位移 (2)小球随O点一起作简谐运动所产生的位移,所以,小球的位移为,和 的区别如图所示:,x,虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许的位移。 实际位移除了和约束有关以外,还和物体当前的运动状态有关;运动方程和约束允许,在时间间隔内所发生的位移。,长度同为l 的轻棒四根,相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD,AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上,BD之间用一根轻质棒连接,在连接点(B和D处),各棒之间可以无摩擦的转动,C点上系有一重物W,C点和重物受到约束,只能上下运动,设A点两棒之间的夹角为 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD,中的张力 ,讨论 的方向与 的大小的关系。问:在什么情况下有 ,说明其意义。,4.,由虚功原理,在平衡状态下可得,解:,为了求棒中的张力,可将棒的约束予以“释放”,以张力 作为主动力代替棒。此时系统的自由度为1,系统受3个外力作用:作用于B的张力 ,作用于D的张力 ,作用于C点的W。,坐标系:两根钉连线的中点为坐标原点,连线 所在直线为x轴(向右为正),垂直连线为y轴 (向下为正),并取 为广义坐标。,B、D点的x坐标: C点的y坐标:,最后可得:,即有:,杠对B的作用力向内,杠对B的作用力向外,杠对B无作用力,9质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m,如图所示。写出拉格朗日方程,并求斜面的加速度 和滑块相对于斜面的加速度 。,解:系统的拉格朗日函数为,即有:,解之得:,带入拉氏方程:,滑块的能量,斜面的能量,系统的总能量,K系(桌面坐标系),K系(沿X方向以速度V相对于桌面运动的坐标系),P37 第5题,系统的能量在k系和 系之间的变换方程,10直接用拉格朗日方程 1.1.2 (2.21) 式 证明,由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L 和L 1.1.3 (3.13)式 得到的运动方程相同。,证明:L和L相差一个广义坐标和时间的全微分,那么,由L 和L 得到的运动方程相同。,将拉格朗日方程 代入上两式,那么,12已知一维运动自由质点的拉氏量是 (a)证明:当按真实运动方式运动时,作用量是 (b)设 ,求 ;并任意假定一种非真实的运动方式,计算相应的作用量 ,验证 。,解:按真实情况运动时,自由质点作匀速直线运动,速度为常数 。,将 带入得到,将 带入得到,(b)假设自由质点不做匀速直线运动,则速度为时间的函数 ,且满足:,那么,平方的平均值大于平均值的平方。,
展开阅读全文