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作业参考答案,2013年9月,设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐标系中写出其拉格朗日方程。,解：拉格朗日方程为：,L为拉格朗日函数,笛卡尔坐标中的坐标变量为 ，那么,所以，,带入拉格朗日方程得到,这就是笛卡尔坐标系中的拉格朗日方程 即牛顿第二定律,已知柱坐标 与笛卡尔坐标的关系是,如图设质点在轴对称势能场 中运动，写出其拉格朗日方程。,解：由柱坐标和笛卡尔坐标的关系可知,等式两边同时除以dt,那么，系统的动能为,那么，系统的拉格朗日函数为,所以,带入拉格朗日方程，则有：,长度为l的细绳系一小球，悬挂点按照 方式运动，如图所示，小球被限制在 平面内运动， 时悬线竖直向下。 （a）求悬线和竖直线偏离 所对应的虚位移 （b）已知在这一时刻的角速度为 ，求经过 时间后的位移 。问：当 时， 与 有何差别？,（a）在任意时刻，约束所容许的位移为虚位移，途中的小球，受到细绳的和自身重力的约束，在这个时刻，,解：,x,小球只能围绕O点作圆周运动，当偏离角为 时，对应的虚位移为 。,（b）小球经过 时间后的位移，可以看作由两部分组成： （1）小球绕O点作圆周运动所产生的位移 （2）小球随O点一起作简谐运动所产生的位移,所以，小球的位移为,和 的区别如图所示：,x,虚位移和实际位移的主要区别在于 虚位移只和约束有关,某一时刻约束所允许的位移。 实际位移除了和约束有关以外，还和物体当前的运动状态有关；运动方程和约束允许，在时间间隔内所发生的位移。,长度同为l 的轻棒四根，相互连接成一个可以无摩擦的改变顶角的菱形ABCD，AB和AD两棒无摩擦的支于处于同一水平线上且相距2a的两根钉上，BD之间用一根轻质棒连接，在连接点（B和D处），各棒之间可以无摩擦的转动，C点上系有一重物W，C点和重物受到约束，只能上下运动，设A点两棒之间的夹角为 ,试用虚功原理求平衡时联结棒BD,中的张力 ，讨论 的方向与 的大小的关系。问：在什么情况下有 ，说明其意义。,4.,由虚功原理，在平衡状态下可得,解：,为了求棒中的张力，可将棒的约束予以“释放”，以张力 作为主动力代替棒。此时系统的自由度为1，系统受3个外力作用：作用于B的张力 ，作用于D的张力 ，作用于C点的W。,坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线 所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴 （向下为正），并取 为广义坐标。,B、D点的x坐标： C点的y坐标：,最后可得：,即有：,杠对B的作用力向内,杠对B的作用力向外,杠对B无作用力,9质量为M的斜面可以无摩擦地在水平桌面上滑动。斜面上无摩擦地放一滑块 m，如图所示。写出拉格朗日方程，并求斜面的加速度 和滑块相对于斜面的加速度 。,解：系统的拉格朗日函数为,即有：,解之得：,带入拉氏方程：,滑块的能量,斜面的能量,系统的总能量,K系（桌面坐标系）,K系（沿X方向以速度V相对于桌面运动的坐标系）,P37 第5题,系统的能量在k系和 系之间的变换方程,10直接用拉格朗日方程 1.1.2 (2.21) 式 证明，由相差一广义坐标和时间的函数的时间全导数的两个拉格朗日函数L 和L 1.1.3 (3.13)式 得到的运动方程相同。,证明：L和L相差一个广义坐标和时间的全微分,那么,由L 和L 得到的运动方程相同。,将拉格朗日方程 代入上两式,那么,12已知一维运动自由质点的拉氏量是 (a)证明：当按真实运动方式运动时，作用量是 (b)设 ，求 ；并任意假定一种非真实的运动方式，计算相应的作用量 ，验证 。,解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运动，速度为常数 。,将 带入得到,将 带入得到,（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速度为时间的函数 ，且满足：,那么,平方的平均值大于平均值的平方。,
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