材料力学弹性力学有限元法的异同

材料力学、弹性力学、有限元法的异同力学是研究力对物体的效应的一门学科。力对物体的效应有两种：一种是引 起物体运动状态的变化，称为外效应；另一种是引起物体的变形，称为内效应。 材料力学研究力的内效应，即物体的变形和破坏的规律。材料力学主要研究物体 受力后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失 效的准则。工程中各种结构或机械都是由许多杆件或零部件组成。这些杆件或零 部件统称为构件。工程上构件的几何形状是各种各样的，可分为杆件、板（或壳）、 实体。材料力学主要的研究对象是杆状构件。材料力学的任务，就是在分析构件 内力和变形的基础上，给出合理的构件计算准则，满足既安全又经济的工程设计 要求，并为后续课程如机械设计、结构力学、弹性力学和复合材料力学等提供必 要的理论基础。弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支学科。它是研究可变形固体 在外部因素（力、温度变化、约束变动等）作用下所产生的应力、应变和位移的经 典科学。确定弹性体的各质点应力、应变、和位移的目的就是确定构件设计中的 强度和刚度指标，以此来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。弹性 力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等 受力体。弹性力学的研究内容和目的的任务原则上与材料力学相同，但其学科所研究 的对象不同，研究方法也不完全相同。（1）在材料力学课程中，基本上只研究杆状构件（直杆、小曲率杆）也就是长 度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力 和位移，是材料力学的主要研究内容。弹性力学解决问题的范围比材料力学要大 得多。如孔边应力集中、深梁的应力分析等问题用材料力学的理论是无法求解的， 而弹性力学则可以解决这类问题。如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构， 则必须以弹性力学为基础，才能进行研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较 精确的分析，也必须用到弹性力学的知识。同时弹性力学又为进一步研究板、壳 等空间结构的强度、振动、稳定性等力学问题提供理论依据，它还是进一步学习 塑性力学、断裂力学等其他力学课程的基础（2）虽然在材料力学和弹性力学课程中都研究杆状构件，然而研究的方法 却不完全相同。在材料力学中研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三 方面进行分析以外，大都还要引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定， 如平截面假设，这就大大简化了数学推演，但是得出的解答有时只是近似的。在 弹性力学中研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，而采用较精确的数学模型， 因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学中得出的近似解答。（3）在具体问题的计算时，材料力学常采用截面法，即假想将物体剖开， 取截面一边的部分物体作为截离体，利用静力平衡条件，列出单一变量的常微分 方程，以求得截面上的应力，在数学上较易求解。弹性理论解决问题的方法与材 料力学的方法是不相同的。在弹性理论中，假想物体内部为无数个单元平行六面 体和表面为无数个单元四面体所组成。考虑这些单元体的平衡，可写出一组平衡 微分方程，但未知应力数总是超出微分方程数，因此，弹性理论问题总是超静定 的，必须考虑变形条件。由于物体在变形之后仍保持连续，所以单元体之间的变 形必须是协调的。因此，可得出一组表示形变连续性的微分方程。还可用广义胡 克定律表示应力与应变之间的关系。另外，在物体表面上还必须考虑物体内部应 力与外荷载之间的平衡，称为边界条件。这样就有足够的微分方程数以求解未知 的应力、应变与位移，所以在解决弹性理论问题时，必须考虑静力平衡条件、变 形连续条件与广义胡克定律。即考虑静力学、几何方程、物理方程以及边界等方 面的条件。由于数学上的困难，弹性理论问题不是总能直接从求解偏微分方程 组中得到答案的。对于复杂的实际问题，往往采用差分法、变分法、有限单元法 来解决。有限单元法又简称为有限元法。它用于分析杆件结构时，称为结构矩阵分析； 用于分析弹性力学问题时，称为弹性力学问题的有限单元法，或简称有限元法。 在工程技术领域内，工程师们常常运用数学和力学的知识将实际问题抽象为它们 应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。对于大多数的 工程技术问题，由于物体的几何形状和荷载作用方式复杂，只有少数方程性质比 较简单、几何边界条件相当规则的问题，可按经典的弹性力学和塑性力学方法获 得解析解，大多数问题要求的解析解是非常困难的，有时甚至是不可能的。为了 克服这种困难，可采用数值解法，如有限差分法、边界元法、有限元法和离散元 法等。在上述各种方法中，有限单元法是其中最具代表性、最为成熟、也是目前应 用最广泛的方法。目前，有限单元法已成为结构力学、固体力学的一种最有效的 分析手段，并且在流体力学、动力学、热学、电磁学等诸多学科中得到广泛应用， 涉及广泛的工程领域，成为工程设计和研究 人员、工程技术人员强有力的工具。材料力学和弹性力学学科之间的界线不是很明显的。虽然，弹性力学中通常 是不研究杆件系统的，然而近几十年来，不少人曾经致力于弹性力学和结构力学 的综合应用，使得这两门学科越来越密切地结合。弹性力学吸收了结构力学中超 静定结构分析法以后，大大扩展了它的应用范围，使得某些比较复杂的本来就 无法求解的问题，得到了解答。这些解答虽然在理论上具有一定的近似性，但应 用在工程上，通常却是足够精确的。在近二十几年间发展起来的有限单元法，把 连续弹性体划分成有限个有限大小的单元，然后，用位移法、力法或混合法求解， 更加显示了综合应用的良好效果。此外，对同一结构的各个构件，甚至对同一构 件的不同部分，分别用弹性力学或材料力学进行计算，常常可以节省很多的工作 量，并且仍能得到令人满意的结果。对此我们不应当强调它们之间的分工，而应当更多地发挥它们综合应用的威 力，才能使它们更好地在学习和科研中获得更好的效果。