线性系统的运动分析.ppt

3.1 引言,第三章 线性系统的运动分析,3.2 线性定常系统的运动分析,3.3 线性时变连续系统的运动分析（介绍）,小 结,3.4 Matlab问题,3.1 引言,分析分为定量分析和定性分析 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。 定性分析对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如 能控性、 能观性、 稳定性等。,状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。,进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。,运动分析的实质,状态方程: x=Ax+Bu x(0)=x0 t0,分析：从数学模型出发，定量地和精确地定出系统运动的变化规律，为系统的实际运动过程作出估计。 数学：给定初始状态 x0和外输入u作用，求解出状态方程的解。 由初始状态和外输入作用所引起的响应。 系统的运动是对初始状态和外输入作用的响应，但运动的形态主要是由系统的结构和参数所决定的，即由参数矩阵所决定的。 状态方程的解x(t) 给出了系统运动形态对系统的结构和参数的依赖关系。,解的存在性和唯一性条件,状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时，对系统的运动分析才有意义。,时变系统而言，矩阵A(t)和B(t)的所有元在时间定义区间t0,ta上均为t的实值连续函数，而输入的元u(t)在时间定义区间t0,ta上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。 对于线性定常系统：系数矩阵A 和B均为常阵，只要其元的值为有限值，则条件满足，解存在且唯一。 这些条件对于实际的物理系统总是能满足的，但从数学的观点而言，条件太强了，将其减弱为： 、 （P86）,零输入响应和零状态响应 线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动，分解为两个单独的分运动 初始状态自由运动。 输入作用强迫运动。,自由运动：系统的自治方程 的解，零输入响应； 强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程 x=Ax+Bu t t0,ta 的解，零初态响应。,x=Ax t t0,ta,在讨论一般线性定常连续系统的运动分析之前，先讨论线性定常齐次状态方程的解，以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用，满足方程解的齐次性。 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用，状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。,3.2 线性定常连续系统的运动分析,3.2.1 线性定常齐次状态方程的解,齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程 x=Ax 齐次状态方程满足初始状态,对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有 级数展开法和 拉氏变换法 2种。,1. 级数展开法 在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常微分方程 在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量，a为常数。 由常微分方程理论知，该方程的解连续可微。 因此，该解经泰勒展开可表征为无穷级数，即有 式中， qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。,将所设解代入该微分方程，可得 如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得 令x(t)的解表达式中t=0，可确定 q0=x(0) 因此， x(t)的解表达式可写为,上述求解标量微分方程的级数展开法，可推广至求解向量状态方程的解。 为此，设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+ 式中， qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x=Ax，可得 q1+2q2t+3q3t2 +kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+) 如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。 因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得,若初始时刻t0=0，初始状态x(0)=x0，则可确定 q0=x(0)=x0 因此，状态x(t)的解可写为 该方程右边括号里的展开式是nn维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式，所以称为矩阵指数函数，且记为,利用矩阵指数函数符号，齐次状态方程的解可写为： x(t)=eAtx0,2拉氏变换法 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换，那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。 对该齐次状态方程 ，设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0，对方程两边取拉氏变换，可得 sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为 X(s)=(sI-A)-1x0,对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为 x(t)=L-1(sI-A)-1x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1(sI-A)-1。 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。 对标量函数，我们有,将上述关系式推广到矩阵函数则有,其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有,因此，基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换，该齐次方程的解为 x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。 若初始时刻t00，对上述齐次状态方程的解作坐标变换，则可得解的另一种表述形式:,状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移，其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0)所决定。,解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为,【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解,(3) 状态方程的解为,(2) 计算矩阵指数函数eAt。,为讨论方便，引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此，有如下关系式 x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1(sI-A)-1,1. 基本定义 定义2-1 对于线性定常连续系统x=Ax，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件: (t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。 引入上述状态转移矩阵新定义，主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等， 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。,3.2.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵,当系统矩阵A为nn维方阵时，状态转移矩阵(t)亦为nn维方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: A=diag1 2 n 则状态转移矩阵为 式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。,2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diagA1 A2 Al 其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为 式中，block-diag表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。,3) 约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块，则分块矩阵的矩阵指数函数为,对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数，可利用矩阵指数函数的展开式证明。,2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(t)为方阵A的状态转移矩阵) 1) (0)=eA0=I,2) eA(t+s)=eAteAs ， (t+s)=(t)(s) 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明 由指数矩阵函数的展开式,有,3) (t2-t1)-1=(t1-t2),4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) (t)n=(nt) 7) (t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0),【例2】求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。 解： 对于该系统,在例1已求得状态转移矩阵为 由于-1(-t)=(t)，所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为,3. 状态转移矩阵的计算,在状态方程求解中，关键是状态转移矩阵(t)的计算。 对于线性定常连续系统，该问题又归结为矩阵指数函数eAt的计算。,（1）级数求和法 由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:,矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。 由于上述定义式是一个无穷级数，故在用此法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题，人工计算非常麻烦，一般只适用于计算机计算。,（2）约旦规范形法 上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形式矩阵的矩阵指数函数。 由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦矩阵，因此 可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩阵或约旦矩阵，再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计算矩阵指数函数。,下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A，经变换矩阵P作线性变换后，有 则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系,该结论可简单证明如下:,根据上述性质，对矩阵A可通过线性变换方法得到对角线矩阵或约旦矩阵，然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数，由矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数。,【例3】试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=-1 2=-2 3=-3 2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为 p1=1 0 1T p2=1 2 4T p3=1 6 9T,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为,3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,【例4】试求如下系统矩阵的矩阵指数函数,解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=2 2=3=-1 2. 由于矩阵A为友矩阵，故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和其逆阵P-1分别为,3. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系,分别有,3.2.3 非齐次状态方程的解,当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程: x=Ax+Bu 该状态方程在初始状态,下的解, 也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。,下面用两种求解常微分方程的方法 直接求解法 拉氏变换法,将状态方程x=Ax+Bu移项，可得 x-Ax=Bu 将上式两边左乘以e-At，则有 e-Atx-Ax=e-AtBu 即 d(e-Atx)/dt=e-AtBu 在区间t0,t内对上式积分，则有,1. 直接求解法,即,上式便是非齐次状态方程的解。 当t0=0时，解x(t)又可记为,因此,若用状态转移矩阵来表示，上述非齐次状态方程的解又可分别记为,(P98 (3.60),(P98 (3.59),2. 拉氏变换法 将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得 sX(s)-x0=AX(s)+BU(s) 即 X(s)=(sI-A)-1x0+BU(s) 其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。 对上式两边取拉氏反变换，并利用卷积分公式，则有,上述求解的关键为等式右边第二项。,下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则。 设W1(s)和W2(s)分别为原函数f1(t)和f2(t)的拉氏变换，则f1(t)和f2(t)的卷积的拉氏变换为,结果与直接求解法完全相同。,对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有,【例5】已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下，状态方程的解。 解 在例1中已求出状态转移矩阵(t)为,于是，系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为,3.3 线性时变连续系统的运动分析 严格说来，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。 如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化；电子器件的老化使其特性也发生变化; 火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。 但是，由于时变系统的数学模型较复杂，且不易于系统分析、优化和控制，因此只要实际工程允许，都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。 但对控制目标要求较高的高精度控制系统，需作为时变系统处理。,本章中涉及的计算问题主要有 矩阵指数函数的计算、 系统运动轨迹的计算(即状态空间模型的求解) 基于Matlab的基本函数和工具箱，可以进行上述系统运动分析的计算和仿真。,3.4 Matlab问题,矩阵指数函数的计算问题有两类, 一类是数值计算，即给定矩阵A和具体的时间t的值,计算矩阵指数eAt的值; 另一类是符号计算，即在给定矩阵A下，计算矩阵指数函数eAt的封闭的(解析的)矩阵函数表达式。 数值计算问题可由基本的Matlab函数完成，符号计算问题后一类则需要用到Matlab的符号工具箱。 eAt的数值计算 eAt的符号计算,3.4.1 矩阵指数函数的计算,1. eAt的数值计算 在Matlab中，给定矩阵A和时间t的值，计算矩阵指数eAt的值可以直接采用基本矩阵函数expm()。 Matlab的expm()函数采用帕德(Pade)逼近法计算矩阵指数eAt，精度高，数值稳定性好。 expm()函数的主要调用格式为 Y = expm(X) 其中，X为输入的需计算矩阵指数的矩阵，Y为计算的结果。,Matlab问题3-1 试在Matlab中计算例3-1中矩阵A在t=0.3时的矩阵指数eAt的值。 Matlab程序m3-1如下。 Matlab程序m3-1执行结果如下。,2. eAt的符号计算 在Matlab中，对给定矩阵A，可通过符号计算工具箱的函数expm()计算变量t的矩阵指数函数eAt的表达式。 在使用Matlab的符号计算工具箱计算时，需要定义符号变量，输入符号表达式与符号矩阵。,定义符号变量 定义(指定)符号变量的语句的格式为 syms t s x . 该语句将符号t,s,x,定义为符号变量。 在该语句后，就可以输入和计算符号表达式与符号矩阵。,使用Matlab的符号工具箱的函数expm()可直接计算关于符号矩阵变量A的矩阵指数函数eA的表达式。 符号计算函数expm()的调用格式为 expA=expm(A) 其中,输入矩阵A为Matlab的符号矩阵,输出矩阵expA为计算所得的eA的Matlab符号矩阵。 Matlab问题3-2 试在Matlab中计算例3-1中矩阵A的矩阵指数eAt。,Matlab程序m3-2如下。 其中t定义为符号变量,输入矩阵A为一般Matlab的数值矩阵,表达式A*t即为Matlab的符号矩阵。 Matlab程序m3-2执行结果如下。 上述计算结果与例3-1的计算结果完全一致。,例3-1的计算结果,Matlab提供了非常丰富的线性定常连续系统的状态空间模型求解(即系统运动轨迹的计算)的功能，主要的函数有 初始状态响应函数initial()、 阶跃响应函数step()以及 可计算任意输入的系统响应函数lsim()，但这里主要是计算其系统响应的数值解。,3.4.2 线性定常连续系统的状态空间模型求解,Matlab问题3-3 试在Matlab中计算例3-1中如下系统在0,5s的初始状态响应。 Matlab程序m3-3如下。 其中，最后一句语句plot(t,x)是以时间坐标数组t为横坐标，绘出x中存储的2维状态向量x(t)的随时间变化的轨迹。,Matlab程序m3-3执行结果如图3-1所示。,图3-1 Matlab问题3-3的状态响应曲线图,本章小结 本章讨论状态空间模型描述的线性系统的运动分析，该问题是控制系统分析的主要问题，也是更好地进行系统综合与控制设计的前提。 本章首先导出了线性定常连续系统的齐次状态方程的解，定义了矩阵指数函数、状态转移矩阵及其计算方法，并基于此得到了非齐次状态方程的解。 结果表明，系统的状态响应由2个部分组成。 由初始状态引起的状态响应，即系统自由运动；（零输入响应） 初始时刻之后的输入引起的状态响应，即系统强迫运动。（零初态响应）,