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第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,在实际电路中，互感现象是很普遍的，如各种变压器的原、副线圈之间就存在着互感现象。在电路分析中常通过电路模型耦合电感和理想变压器来讨论。 本章主要介绍了耦合电感和理想变压器的电压、电流关系，以及含耦合电感电路的一般分析方法。,第6章 含耦合电感电路的分析,6.1 耦合电感,第6章 含耦合电感电路的分析,要分析耦合电感的端钮伏安关系，首先要引入一个同名端的概念。,同名端可通过右手螺旋定则来判定。,所谓同名端(也称同极性端)是指耦合线圈在同一交变磁通下始终保持同极性的两个端点，在电路符号中常用“”或“”来表示。,第6章 含耦合电感电路的分析,(c),(a),(b),图6-2 同名端的概念,图6-2(a)所示耦合线圈中，1和2即为同名端(显然，1和2也是同名端)。同名端与耦合线圈之间的相对位置及线圈的绕向有关。图6-2(b)中，1和2为同名端，与图6-2(a)相比较，线圈2的绕向发生了改变；而图6-2(c)中，耦合线圈之间的相对位置发生了变化，同名端亦随之发生了改变。,第6章 含耦合电感电路的分析,对于实际的耦合线圈，经过浸漆或其它工艺处理后，从外观上已难以辨认线圈的绕向，这时就需要通过实验来测定。同名端的测定常用的方法有直流法和交流法二种。,1. 直流法,第6章 含耦合电感电路的分析,2. 交流法,第6章 含耦合电感电路的分析,有了同名端的概念，图6-2(a)和6-2(b)所示的耦合线圈就可以用图6-4(a)、(b)所示的电路符号来表示。,第6章 含耦合电感电路的分析,对于图6-4 (a)所示耦合线圈的端钮伏安关系可表示为,(6-1),称为端口1对端口2的互感电压；,图6-4(a),称为端口2的自感电压；,称为端口1的自感电压；,称为端口2对端口1的互感电压；,第6章 含耦合电感电路的分析,因此，耦合电感需用三个参数L1、L2和M 来表征。对线性耦合电感，L1、L2和M均为常数。,端口电压和端口电流一般取关联参考方向，此时式(6-1)中自感电压前取正号；而互感电压前的正负号则取决于耦合线圈的同名端和端口电压的参考极性。,互感电压前正负号的确定：互感电压的正极性端就是产生这个互感电压的变化电流流入端的同名端。 当互感电压正极性端与端口电压参考极性一致时取正号；反之，当互感电压正极性端与端口电压参考极性相反时取负号。,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-4(a)电路中，1和2为同名端，电流i2从端2流入，则i2产生的互感电压 的正极性端为端2的同名端，即端1，与端口电压u1的参考极性一致，因此取正号；同样，电流i1产生的互感电压 的正极性端为i1流入端的同名端，即端2，与端口电压u2的参考极性一致，因此也取正号。,(6-1),第6章 含耦合电感电路的分析,同样，对于图6-4(b)所示电路的端钮伏安关系可表示为,(6-2),图6-4(b),第6章 含耦合电感电路的分析,正弦交流电路中，耦合电感电路常用相量模型来表示，如图6-5所示。,图6-5 耦合电感的相量电路模型,(b),(a),第6章 含耦合电感电路的分析,如图6-6所示电路，已知电流i(t)的波形，求电源电压u1(t)和线圈电压u2(t)。,解：,【例6-1】,图6-6 例6-1图,(a),(b),由图6-6(a)知,第6章 含耦合电感电路的分析,当 时：,当 时： ，可得,第6章 含耦合电感电路的分析,【例6-2】,解：,图6-7 例6-2图,bc端开路时,第6章 含耦合电感电路的分析,6.2 耦合电感线圈的串联和并联,第6章 含耦合电感电路的分析,当耦合电感用含受控源的等效电路代替后，同名端在等效电路中通过受控源的极性来反映。在等效电路中已不需要同名端，也没有互感，因此可以按普通含受控源电路的分析方法来分析，这也是含耦合电感电路的基本分析方法。,第6章 含耦合电感电路的分析,6.2.1 耦合线圈的串联,图中端电压,第6章 含耦合电感电路的分析,此时互感具有助磁作用，即线圈中的磁通比无耦合时得到了加强。,可见，耦合线圈顺向串联时可用一个等效电感L来代替，如图6-9(c)所示。,图6-9 耦合电感的顺向串联,(a),(b),(c),第6章 含耦合电感电路的分析,当含耦合的两线圈反向串联时，两线圈的同名端相联，如图6-10(a)所示。耦合电感用含受控源的等效电路代替后，电路如图6-10(b)所示。,图6-10 耦合电感的反向串联,(a),此时端电压,第6章 含耦合电感电路的分析,耦合线圈反向串联时同样可用一个等效电感来代替，如图6-10(c)所示。等效电感,此时的互感具有去磁作用。,(6-6),图6-10 耦合电感的反向串联,(c),(b),(a),第6章 含耦合电感电路的分析,由于有耦合的两个无源线圈串联后形成的等效电感仍是无源的，因此这个等效电感必然大于等于零，即,(6-7),第6章 含耦合电感电路的分析,6.2.2 耦合线圈的并联,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-11(b),由图6-11(b)可得,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-11 耦合电感同名端相联时的并联,(b),(c),(a),可见，耦合线圈并联时(同名端相联)也可用一个等效电感L来代替，如图6-11(c)所示。,(6-8),等效电感,第6章 含耦合电感电路的分析,耦合电感异名端相联时的并联电路如图6-12所示。,第6章 含耦合电感电路的分析,同样，含耦合的两个无源线圈并联后形成的等效电感仍是无源的，因此有L 0。由式(6-8) 、式(6-9)知,(6-10),式中k称为耦合系数，0k1。耦合系数k反映了耦合电感中两线圈的耦合程度。当k=1时，称为全耦合；当k较大接近1时，称为紧耦合，如电力变压器采用紧耦合，k值可达0.98左右；当k较小时，称为松耦合；当k=0时则无耦合。,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-13(a)所示电路，两个有耦合线圈串联后接至正弦交流电源，已知 ，L1=1H，L2=2H，M=1.4H，R1=R2=1，求电流i(t)。,【例6-3】,图6-13(a) 例6-3图,解：,第6章 含耦合电感电路的分析,令 ，则电流相量,第6章 含耦合电感电路的分析,6.3 耦合电感的去耦等效电路,当耦合电感中的两个线圈有一公共端时，可用无耦合的三个“电感”组成的“T”形等效电路来代替，称为去耦等效电路。,第6章 含耦合电感电路的分析,6.3.1 耦合线圈的公共端为同名端,第6章 含耦合电感电路的分析,(6-13),对于图6-14(a)所示的原电路，其端钮伏安关系为,图6-14(a),第6章 含耦合电感电路的分析,对于图6-14(b)所示的去耦等效电路，其端钮伏安关系为,图6-14(b),(6-14),第6章 含耦合电感电路的分析,比较式(6-13)、式(6-14)可得等效条件,(6-15),(6-14),(6-13),第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,6.3.2 耦合线圈的公共端为异名端,第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,如图6-16(a)所示电路，R1=R2=1，L1=L2=2H，M=1.5H， =2rad/s。求ab端输入阻抗。,【例6-4】,6-16(a),解：,第6章 含耦合电感电路的分析,【例6-5】,求图6-17(a)所示二端网络的戴维南等效电路。,图6-17(a),解：,第6章 含耦合电感电路的分析,6.4 空心变压器,变压器是一种常用的电器设备，利用电磁耦合来实现从一个电路向另一个电路的能量传递或信号传输。,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-18 变压器,当变压器线圈绕在铁磁材料上时，称为铁心变压器；当无铁心或将线圈绕在非磁性材料上时，就称为空心变压器或线性变压器。 空心变压器是电子线路中常用的一种磁耦合电路。,第6章 含耦合电感电路的分析,设空心变压器原、副线圈的电阻分别为R1、R2，自感系数分别为L1、L2，原、副线圈之间的互感系数为M。当原方接至电源 ，副方接负载ZL时，电路模型如图6-19(a)所示。,图6-19 空心变压器电路模型,(a),第6章 含耦合电感电路的分析,由KVL,第6章 含耦合电感电路的分析,(6-19),第6章 含耦合电感电路的分析,图6-20 空心变压器原方等效电路,由此可得出空心变压器的原方等效电路，如图6-20所示。利用该等效电路可以方便地计算原方电流 。,第6章 含耦合电感电路的分析,(6-20),第6章 含耦合电感电路的分析,(6-21),第6章 含耦合电感电路的分析,原电路 时从负载端看进去的戴维南等效阻 抗，其中 称为原方对副方的反映阻抗。,原电路负载端的开路电压；,式中,第6章 含耦合电感电路的分析,因此，空心变压器的副方等效电路还可以表示成图6-22所示形式，即为原电路负载端的戴维南等效电路，利用该等效电路则不需要先求出原方电流 。,注意：在图6-21、6-22所示空心变压器的副方等效电路中，各电压源的极性与同名端的位置有关，应视具体电路而定。,图6-22 空心变压器副方等效电路(2),第6章 含耦合电感电路的分析,图6-23(a)所示电路，已知 ，R1=R2=RL=1，L1=1mH，L2=2mH，M=1mH。求电流i1(t)和i2(t)。,【例6-6】,由图6-23(a)所示电路中同名端的位置可知,图6-23(a),解：,第6章 含耦合电感电路的分析,原线圈阻抗,副方对原方的反映阻抗,副方阻抗,第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-24(a)所示电路中，已知L1=0.1H，L2=0.4H，M=0.12H。求：(1) 当cd端短路时，ab端的等效电感Lab； (2) 当ab端短路时，cd端的等效电感Lcd。,【例6-7】,图6-24(a),解：,第6章 含耦合电感电路的分析,得ab端的等效电感,ab端等效阻抗,第6章 含耦合电感电路的分析,得cd端的等效电感,图6-24(a),(2) 当ab端短路时，副方等效电路如图6-24(c)所示。,cd端等效阻抗,图6-24(c),第6章 含耦合电感电路的分析,6.5 理想变压器,第6章 含耦合电感电路的分析,在图6-25(a)所示的电压、电流参考方向及同名端位置的情况下，端口电压之间、端口电流之间的关系为：,(6-22),式中n=N1/N2称为原、副线圈的匝数比，或称为变比，为一常数。电压电流之间的方向关系取决于同名端的位置。,图6-25(a),第6章 含耦合电感电路的分析,(6-23),可见，两端口电压的极性对同名端是一致的，而电流的方向对同名端是相反的，由此可确定理想变压器端口电压之间、端口电流之间关系式中的正负号。,图6-25(b),对于图6-25(b)所示的理想变压器，端口电压之间、端口电流之间的关系为：,第6章 含耦合电感电路的分析,由式(6-22)或式(6-23)可知，理想变压器吸收的瞬时功率,(6-24),理想变压器不消耗能量，也不储存能量，从原方输入的功率全部能从副方输出到负载，是一个无记忆元件，其电路符号并不意味着任何电感的作用，仅仅表示电压之间、电流之间的简单约束关系。,(6-23),(6-22),第6章 含耦合电感电路的分析,(6-25),对实际变压器来说，理想变压器是一种比耦合电感更极端、更简化的抽象，它可以看成是耦合系数k=1，L1、L2为无穷大，且L1/L2为常数这一极限情况下的耦合电感。此时,第6章 含耦合电感电路的分析,变压器多用于正弦交流电路中，图6-26(a)、(b)为理想变压器用相量形式表示的电路模型，相应的端钮伏安关系分别可表示为,(6-26),(6-27),图6-26 理想变压器的相量电路模型,(b),(a),第6章 含耦合电感电路的分析,理想变压器不仅具有变换电压、变换电流的功能，还具有变换阻抗的功能。,第6章 含耦合电感电路的分析,式中n2ZL为副方折算至原方的阻抗值，而Z1/n2则为原方阻抗折算至副方的值。,第6章 含耦合电感电路的分析,(6-33),(6-32),第6章 含耦合电感电路的分析,折算阻抗的计算与同名端无关，利用折算阻抗的概念可以简化某些含理想变压器电路的分析。在电子线路中，常利用变压器变换阻抗的作用来实现最大功率匹配。,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-28 例6-8图,【例6-8】,解：,回路I：,回路II：,又由理想变压器端钮伏安关系可得,回路III：,由KCL、KVL可得,第6章 含耦合电感电路的分析,【例6-9】,利用节点电压法求图6-29所示电路的输入电压 。,图6-29 例6-9图,将 、 分别看成原、副方电路的节点电压，则有,理想变压器端钮伏安关系,解一：,第6章 含耦合电感电路的分析,解二：利用折算阻抗法可得变压器原方等效电路,第6章 含耦合电感电路的分析,【例6-10】,图6-30(a)所示电路，求原、副方电流 、 。,图6-30 例6-10图,利用折算阻抗法可得变压器原方等效电路,解：,第6章 含耦合电感电路的分析,也可以通过变压器副方等效电路来计算,第6章 含耦合电感电路的分析,图6-31(a)所示电路，理想变压器变比n为何值时负载ZL上可获得最大电功率，并求该最大电功率。,【例6-11】,图6-31(a) 例6-11图,副方电流,解：,第6章 含耦合电感电路的分析,由,则负载ZL上获得的最大电功率,n=0.2,负载上获得的功率,第6章 含耦合电感电路的分析,第6章 习 题,第6章 含耦合电感电路的分析,6-1,试确定题图6-1所示耦合电感的端钮伏安关系。,题图6-1,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-2所示电路，标出开关S闭合瞬时线圈的实际极性。,6-2,题图6-2,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-3所示为自耦变压器电路，试列出求解电流 、 所需的方程组。,6-3,题图6-3,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-4所示电路，列出求解电流 、 的网孔电流方程。,6-4,题图6-4,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-5所示电路，已知 ，求开关S打开和闭合时的电流 。,6-5,题图6-5,第6章 含耦合电感电路的分析,6-6,题图6-6所示电路，求ab端的输入阻抗。,(2.5+j2.5),题图6-6,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-7所示电路，要使电路发生谐振，试确定Xm的值。,6-7,题图6-7,(10),第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-8所示互感电路，已知L1=L2=40mH，当1=1000rad/s时，安培计A读数为零；2=2000rad/s时，伏特计V读数为零。求互感M和电容C。,6-8,(20mH，8.33F),题图6-8,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-9所示电路，求负载ZL获得最大电功率时的值。,6-9,题图6-9,(0.2j9.8k),第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-10所示电路，已知耦合系数 ，求输出电压 。,6-10,题图6-10,第6章 含耦合电感电路的分析,列出题图6-11所示电路的节点电压方程，并求电压 。,6-11,题图6-11,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-12,题图6-12所示电路，求开关S打开和闭合时的输入阻抗。,6-12,(4，8/3),第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-13所示电路，负载RL为何值时可获得最大电功率，并求该最大电功率Pmax。(2.8，12.86W),6-13,题图6-13,第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-14所示电路，理想变压器变比n为何值时负载RL上可获得最大电功率，并求该最大电功率。,6-14,题图6-14,( ，2W),第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-15所示电路，C1=C2=1F，L1=L2=1H，M=0.5H， =1000rad/s，求阻抗 、 、Z12。,6-15,题图6-15,( 0，0，j1250 ),第6章 含耦合电感电路的分析,题图6-16所示电路，C=1F，=104rad/s，求下列几种情况下输入端的等效电容。 (1) L1=，L2=，k=1，且L1/L2=4； (2) L1=0.1H，L2=0.4H，k=1； (3) L1=0.1H，L2=0.4H，k=0.99。,(0.25F) (3.9F) (19.1F),6-16,题图6-16,第6章 含耦合电感电路的分析,
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