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2020/8/10,高等数学课件,第二节 偏导数与全微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、偏导数的定义,二、偏导数的计算,偏导数的定义与计算,第九章,三、高阶偏导数,2020/8/10,高等数学课件,一、 偏导数的定义,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将振幅,2020/8/10,高等数学课件,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,2020/8/10,高等数学课件,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或 y 偏导数存在 ,2020/8/10,高等数学课件,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数定义为,(请自己写出),2020/8/10,高等数学课件,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 轴的,2020/8/10,高等数学课件,函数在某点各偏导数都存在,例,注意：,但在该点不一定连续.,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,2020/8/10,高等数学课件,连续和偏导数的关系.,例,思考：,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,由偏导数的定义,2020/8/10,高等数学课件,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 偏导数的计算,2020/8/10,高等数学课件,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,整体记号,2020/8/10,高等数学课件,例5. 已知,求,解:,方法1 先求导，后代值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例5. 已知,求,解:,方法2 直接用定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法3 代值,2020/8/10,高等数学课件,三、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数:,2020/8/10,高等数学课件,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数为,2020/8/10,高等数学课件,例6. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,例7. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,2020/8/10,高等数学课件,特例:,二者不等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,则,证明 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,2020/8/10,高等数学课件,证:令,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,令,2020/8/10,高等数学课件,同样,在点,连续,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,练习1,解答提示:,即 xy0 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,练习2,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求的倾角为 ,由偏导数的定义 , 得,2020/8/10,高等数学课件,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2020/8/10,高等数学课件,补充题,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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