大学物理刚体部分

大学物理刚体部分12 2 转动定律转动定律4 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律3 3 力矩作功力矩作功 转动动能定理转动动能定理概念、规律、方法与质点力学对照学习！概念、规律、方法与质点力学对照学习！1 1 刚体定轴转动及其描述刚体定轴转动及其描述第二章第二章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理刚体部分2物体受力作用时,组成它的各质量元之间的相对位置保持不变.有大小,形状不变.二、平动和转动二、平动和转动平动：平动：刚体内任意两点连线的空间指向始终 保持不变,各点的运动情况完全相同.转动：转动：刚体内各质点在运动中都绕同一直线 作圆周运动.该直线称转轴转轴.转轴固定不动-定轴转动定轴转动.更复杂的运动,刚体平动和转动合成的运动.1 1 刚体定轴转动及其描述刚体定轴转动及其描述一、刚体一、刚体例:车轮,螺帽等.（刚体运动的基本形式)大学物理刚体部分3xyoxoy固定,刚体绕oy轴转动,xoy在刚体上且随刚体转动,初始各轴重合.任意时刻,两平面夹角标志刚体位置角位置角位置.三、角坐标与角位移三、角坐标与角位移质点:坐标,位置,位移,速度,加速度.定轴转动的刚体:角坐标,角位置,角位移,角速度,角加速度.x)(t1122,tt21一定,每一质点位置一定.角位移角位移 yxo大学物理刚体部分4四、角速度与角加速度四、角速度与角加速度转动平面转轴v右手螺旋,轴向dtdtt0lim220limtddtdtdt.反向减速与同向，加速与dtd202tt2202 匀加速转动匀加速转动:0t大学物理刚体部分5rv222()nrarrrvv2222()tddrdarrdtdtdtv五、线量和角量的关系五、线量和角量的关系()dsd rdrrdtdtdtv垂直转轴距离为r处质点的v,a 24ar转动平面转轴vr大学物理刚体部分6例例1:1:一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升,求:(1)滑轮的角加速度.(2)开始上升后,t=5s末滑轮的角速度.(3)在这5s内滑轮转过的圈数.(4)开始上升后,t=1s末滑轮边缘上一点的加速度(设绳索与滑轮之间不打滑).tar解:(1)ar 20.8rad sta ra r(2)0t4rad st(3)2210radt21.6n圈(4),taa2220.32m snarrt2220.51m stnaaaarctan38.7ntaa加速度与滑轮边缘切线方向夹角.大学物理刚体部分72 2 转动定律转动定律一、力矩一、力矩 FrMsinFrFdMo rFd矢量式右手螺旋 转动效果原因-力矩力矩力矩可合成,同一参考点.一般符合右手螺旋为正,反之为负.合成代数和.当外力不在转动平面内,可分解成垂直轴和平行轴的两分量,后者对转动无贡献.1T2TRo 21MT RT R1M2M12MMM针对某参考点 FFtFnF大学物理刚体部分8 OiriFiOifiim质量m,质量元mi,其距转轴ri,sinsiniiiiiiti iiFfmamr法向无用,切向运动,牛二律 二、转动定律二、转动定律（由牛顿定律而来）itiiar2sinsiniiiiiii iiFrfrmr 2sinsini iii iii iiiiFrf rmr0siniiirfsini iiiFrM,夹角,夹角外力,内力 iiiFif为mi的切向加速度 各质元相同大学物理刚体部分92i im rI转动惯量转动惯量,由刚体本身性质决定.三要素:与总质量总质量、转轴位置转轴位置、质量分布质量分布有关.三、转动惯量的特点及物理意义三、转动惯量的特点及物理意义转动定律转动定律:刚体所受合外力矩等于刚体刚体所受合外力矩等于刚体 转动惯量和角加速度的乘积转动惯量和角加速度的乘积.转动惯量转动惯量:转动惯性大小的量度.m相同,转轴位置或质量分布不同,I I不同.amFMIMIm不相同,转轴位置和质量分布相同,I I不同.与质量比较 ,M I对同一转轴而言.MI大学物理刚体部分10用轻杆相连4个质点的物体绕垂直纸面轴o的转动惯量2i iIm r 221limniiniIrmr dm质量连续分布的刚体:在距转轴ri处,取一小质量元mi,其转动惯量为ri2mi,则整体的转动惯量分立的质点组:四、转动惯量的计算四、转动惯量的计算22221 12 23 34 4Im rm rm rm r一个质点:2Imr1r2r3r4rom4m3m2m1irimodVdSdldm叠加原理叠加原理 大学物理刚体部分11xodmdxxdxLmdxdm/222/212LcLIxdxmL2203LoIxdxmL例例2 2:计算质量为m、长为L的均匀细棒对中心或一端并与棒垂直的轴的转动惯量.对中心轴o的转动惯量对一端轴o的转动惯量距中心为d的轴的转动惯量/2222/212dLdLIxdxmLmd2ocIImd d平行轴定理：平行轴定理：解：22Ix dmxdxo大学物理刚体部分12例例3 3:求质量为m,半径为R的细圆环及圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量。解:(1)圆环 ,2mdmdlR222202RIRdlRRmR(2)圆盘 223200222RRmmRIrrdrr drR2,2mdmrdrRrdroRoRdl大学物理刚体部分13例例4:4:Ro2Rr求剩余部分对o轴的转动惯量.解:叠加原理III小圆大圆大圆质量为M2221mrmrI小圆小圆大圆III223mr222MRmRM4122423RM2323MR221MRI大圆23213MR大学物理刚体部分14例例5:5:考虑滑轮质量以后.m2m1.隔离体法.amTgmamgmT222111解方程组即可得有关量.21212T RT RIaRIMR 增加原来转动定律应用举例：1mgm11Ta2mgm22Ta1T2TR1m2maRM大学物理刚体部分15例例6 6:一质量为m,长为L的均匀细棒,可绕通过其一端,且与棒垂直的光滑水平轴O转动.今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动,求棒转到90o角的角速度.任意位置力矩 cos2Lmg转动定律 21cos23LmgmLcos23Lg角加速度 解:利用转动定律.mgO大学物理刚体部分16由求角速度 cos23LgdddtddddtdddLgcos23003cos2gddLsin3 Lg3,0,0,2gMLraaant2 0raaatn 030,022Lg Mmg LmgO大学物理刚体部分17oR例例7:7:一半径为R,质量为m的均质圆盘在水平桌面上以初角速度0绕垂直盘面的中心轴转动.盘面与桌面间的滑动摩擦系数为,求圆盘经多长时间后停止转动?22mdmrdrR任选一环带半径为任选一环带半径为r,宽为宽为dr.rdr222 mgdMdm g rr drR 220223RmgMdMr drmgRR 恒力矩MI00t知圆盘作匀减速转动.2000312234RtIMmRmgRg 解:大学物理刚体部分181.理解刚体,平动和转动,定轴转动和角坐标.2.角位移,角速度,角加速度及与线量关系.3.熟悉转动定律推导、意义及应用.4.理解转动惯量物理意义和计算.本课要求：本课要求：P100 习题习题 2、5、11作业作业:大学物理刚体部分19 dsFdWcos一、力矩的功一、力矩的功2drFdrrdFcosMdrdFsin21 WM d3 3 力矩的功力矩的功 定轴转动动能定理定轴转动动能定理力矩作用下,刚体转动发生角位移.力矩的功力矩的功 变力矩时,知M=f(),可得W.恒力矩时,W=M(2-1).同时受几个力矩时,M 为合力矩.大学物理刚体部分20 2221122iii imm rv21 2kEI二、转动动能二、转动动能取任意质量元mi,其距转轴ri.刚体转动动能刚体转动动能=所有质点线运动动能总和所有质点线运动动能总和.刚体由质点组成,各质点转动动能的和就是刚体的转动动能.整体 imivir2221122kiii iiiEmm rv2212r dm大学物理刚体部分21三、定轴转动中的动能定理三、定轴转动中的动能定理22211122WII转动动能定理转动动能定理:合外力矩对刚体作的功等于合外力矩对刚体作的功等于 刚体转动动能的增量刚体转动动能的增量.ddtdI21Id 21WMd动能定理动能定理解题解题:1.1.任意位置力矩任意位置力矩;2.;2.元功元功;3.3.总功总功;4.;4.转动动能增量转动动能增量.大学物理刚体部分22213022mgLmgLgIIL/20cos22LmgLWdWMdmgd 例例1:1:利用动能定理重作前例题利用动能定理重作前例题6.6.解:当杆转到任意角位置处,对O轴的重力矩 cos2LMmgmgO则在整个过程中重力矩作功为 由转动动能定理得 大学物理刚体部分23定轴转动中的功能原理和机械能守恒：定轴转动中的功能原理和机械能守恒：系统机械能:机械能守恒:例例2:2:再作前例题再作前例题.2022ImgL3mgL Ig L不考虑过程,只要正确表达始末状态的机械能.W外+W非保内=0E=0mgo222111222cEmmghkxImgh v功能原理:W外+W非保内=E解:以棒和地球为系统.机械能守恒.以棒水平时为势能零点.大学物理刚体部分24例例3:3:如图,弹簧的劲度系数为k,滑轮质量为M,半径为R,可绕o轴无摩擦转动,绳与滑轮边缘无相对滑动.求质量为m的物体下落h时的速度.已知开始时物体静止且弹簧无伸长.解:选弹簧、滑轮、物体和地球为系统,选物体初始位置为重力势能零点.由机械能守恒得2221110222mghmIkh vhR v212IMR2422mghkhmMvMmok大学物理刚体部分25L4 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律LrmrpvsinLm rvorFdA质点角动量质点角动量omvr一、质点运动角动量一、质点运动角动量（动量矩）例例4:4:作圆周运动的质点 对o点的角动量大小为 Lmvr 方向:符合右手螺旋.oPr大小:方向:右手螺旋判定.针对某参考点才有意义.大学物理刚体部分26二、刚体转动角动量二、刚体转动角动量dtdLdtIddtdIM)(刚体对转轴的角动量角动量或动量矩动量矩.刚体所受对某给定轴的合外力矩等于刚体所受对某给定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量的时间变化率刚体对该轴的角动量的时间变化率.整体2ii ii iLmrmr v2i iLm rI 质量元imivir转动定律转动定律大学物理刚体部分27()Mdtd I角动量定理角动量定理:作用在刚体上的冲量矩等于作用在刚体上的冲量矩等于 刚体在这段时间内动量矩的增量刚体在这段时间内动量矩的增量.对质点也适用:212121ttMdtIILL三、角动量定理三、角动量定理OvmrdtdLdtIddtdIM)(dtM冲量矩冲量矩:力矩对时间的累积.Lrp sinLm rv大学物理刚体部分28例例5:5:一个飞轮的质量为69kg,半径为0.25m,正在以每分钟1000转的转速转动.现在要制动飞轮,要求在5.0s内使它均匀减速而最后停下来.求对制动杆的压力F多大?闸瓦与轮子的摩擦系数为0.046.解:对O轴,制动杆所受的合外力矩02bNbF飞轮:由角动量定理 0bbFRNOf2NF0MdtII00NR tI 0200kgf2IFR t大学物理刚体部分292121ttMdtII1.适用于有转动的系统,如结合、分离、碰撞和相对运动等;四、角动量守恒定律四、角动量守恒定律刚体所受刚体所受合外力矩合外力矩为零时为零时,其角动量保持不变其角动量保持不变.AABBCCAB2.对非刚体也成立,如芭蕾,跳水等;Mmf3.自然界普遍规律,微观、宏观、高速.例例:开普勒等面积速度定律.当 时,为恒量.0M I大学物理刚体部分30注意注意:刚体(质点组)的合外力为零,其合外力矩不一定为零;合外力矩为零,合外力不一定为零.ffoff例例6:6:一长度为l,质量为M的均质杆可绕过一端的水平轴o自由转动.设杆处于静止状态时,一质量为m,速度为v0的子弹水平射向杆后,嵌入杆内随杆一起绕o转动,子弹嵌入位置距o为d,求子弹嵌入后杆的角速度及最大摆角.vo大学物理刚体部分31解:取杆和子弹为系统,对轴o所受合外力矩 为零(包括二者的重力矩和轴对杆的作用力的力矩),所以系统角动量守恒,得 令轴o处为重力势能零点,设杆的最大摆角为,以杆、子弹和地球为系统,机械能守恒.22013mdmdMlv21coscos222llImgdMgmgdMg2213ImdMl0223mdmdMlv22arccos 12ImgdMglvoF角动量守恒,机械能守恒,动量不守恒.大学物理刚体部分32例例7:7:一质量为M,长为2l的均匀细棒,可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动.开始细棒在水平位置,一质量为m的小球,以速度u 垂直落到棒的端点.设小球与棒作完全弹性碰撞.求碰撞后小球回跳速度及棒的角速度.忽略小球重力矩.uv解:以小球和棒为系统,角动量守恒.以小球、棒和地球为系统,机械能守恒.mulIm lv222111222mumIv213IMl(3)3u MmMmvlmMmu)3(6动量不守恒.大学物理刚体部分33例例8:8:在光滑的水平桌面上开一小孔o,把系在绳子一端质量为m的小球置于桌面上绳的另一端穿过小孔.开始小球以速度v0绕o作半径为r0的圆周运动,然后用力F向下拉绳,使小球的运动半径减小到r1,求小球此时的角速度和拉力F所作的功.解:由小球对o点角动量守恒得 Fo 0 01 1mrm rvv10 01r rvv210 01rr v由功能原理得 2222010011111222rWmmmrvvv角动量守恒,机械能不守恒.大学物理刚体部分34五、进动OzgmZXY Ftp 0 FvFm0v动量方向变,与力的相同.0 MtLLL 0LL方向垂直于的方向,角动量方向变,进动进动.LL0LMMmg与力矩的方向相同.大学物理刚体部分35IM mCv2201122f drmmvv牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律2201122MdIIICamFdrdtvdtddtddadtv2121ttfdtmmvv2121ttMdtII质点力学质点力学刚体力学刚体力学0F0M本章小结本章小结:大学物理刚体部分36当画受力图时,质点受力可以画在物体任意处.刚体时,不行.因为:F（质心）+FL/2 F质心oFoFoF+2.动量守恒和角动量守恒的条件：v当碰撞时,轴o处要受到外力,子弹与杆组成的系统的合外力不为零.但合外力矩等于零.角动量守恒.注意：注意：1.考虑形状与质点的区别：绳挂物,子弹射入时,动量守恒.voF