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第十二章 气动逻辑回路设计,非时序逻辑问题的特点是： 输入变量取值是随机的，没有时间顺序。系统输出只与输入变量的组合有关，与输入变量取值的先后顺序无关。 设计步骤： 分析问题列真值表写逻辑函数化简逻辑函数绘制逻辑原理图绘控制回路图,逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、 C、表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。 逻辑函数表达式 与/或式 s=ab+cd 或/与式 s=(a+b)(c+d) 逻辑函数计算只有非，加，乘 逻辑函数计算目的：简化逻辑关系，在功能不变的前提下所含元件最少 方法 布尔代数法 卡诺图法,Y=ABC,0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1,12.1布尔代数法设计逻辑函数,12.1.1布尔代数法基本运算规律,Y=A+B+C,0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1,逻辑代数的运算公式和规则, 公理、定律与常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0-1律,重叠律,互补律,还原律,倒相律,0 0 = 0,0 1 =1 0 =0,1 1 = 1,0+ 0 = 0,0+ 1 =1 + 0 =1,1+ 1 = 1,A B = B A,A+ B = B + A,(A B) C = A (B C),(A+ B)+ C = A+ (B+ C),A ( B+ C ) = A B+ A C,A+ B C =( A+ B) (A+ C ),A 0=0 A+ 1=1,A 1=A A+ 0=A,A A=A A+ A=A,吸收律,消因律,包含律,A+A B=A A (A+B)=A,布尔恒等式,公式（17）的证明（公式推演法）：,常用公式,原变量的吸收：,A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用运算规则可以对逻辑式进行化简。,例如：,长中含短，留下短。,反变量的吸收：,证明：,例如：,长中含反，去掉反。,4.,证明：,3.,5.混合变量的吸收：,证明：,正负相对，余全完。,例如：,注2. A+B=A+C,B=C,注2. AB=AC,B=C,逻辑加与代数加不同,如A=B=1，C=0,逻辑乘与代数乘不同,如A=C=0，B=1,最小项举例：,两变量A, B的最小项,三变量A,B,C的最小项,最小项的编号：,最小项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。 -相邻：仅一个变量不同的最小项 如,逻辑函数最小项之和的形式：,例：,利用公式 可将任何一个函数化为,最大项：,M是或项。 包含n个因子。 n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次。 如：两变量A, B的最大项,对于n变量函数 2n个,变量的各组取值,A B C,000 001 010 011 100 101 110 111,对应的最大项及其编号,最大项,编 号,三变量函数的最大项：,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0。 全体最大项之积为0。 任何两个最大项之和为1。 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,逻辑函数的标准形式,解：F(A、B、C、D), 从真值表找出F为1的对应最小项,解:, 然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),2.6 逻辑函数的公式法化简,逻辑函数“最简”的标准与函数本身的类型有关。类型不同，“最简”的标准也有所不同。这里以最常用的“与或型”表达式为例来介绍“最简”的标准。,一般而言，“与或型”逻辑函数需要同时满足下列两个条件，方可称为“最简”： (1)或项最少，即表达式中“+”号最少； (2)每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少。,2.并项法 利用公式,例:试用并项法化简下列逻辑函数,解：,将两项合并为一项，消去一个变量。,2. 吸收项法 利用公式,例1:试用吸收法化简下列逻辑函数,利用吸收律和包含律等有关公式来减少与项数。,解：,例2:试用消项法化简下列逻辑函数,解：,例3: 试用消因子法化简下列逻辑函数,3. 配项法,例: 试化简逻辑函数,解：,解：,例: 试化简逻辑函数,(2)利用公式,解：,4. 综合法,在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。,解：,例1：化简逻辑函数,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,解：,例2：化简逻辑函数,（利用反演律 ）,（配项法）,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,例3：化简逻辑函数,解:,由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。,解法1：,解法2：,例4：化简逻辑函数,2.7 逻辑函数的卡诺图化简法,实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。 以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,2.逻辑函数的卡诺图表示法,（1）表示最小项的卡诺图,二变量卡诺图,四变量的卡诺图,三变量卡诺图,五变量的卡诺图,（2）用卡诺图表示逻辑函数,将函数表示为最小项之和的形式。 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余地方填0。,与或式的卡诺图表示.,直接将表达式的与项或最小项所对应的方格标以2.,其它形式函数的卡诺图表示要转换成与或式再在卡诺图上表示。,例 2:用卡诺图表示逻辑函数,解： 首先将Y化为最小项之和的形式,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,例 3: 已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，试写出该函数的逻辑式。,解：,2. 用卡诺图化简逻辑函数,依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。,合并最小项的原则： 两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子。 八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。,01,01,B,A,1 1,01,01,B,A,1 1,01,01,B,A,1 1,1,二变量卡诺图的典型合并情况,00 01 11 10,01,BC,A,1 1,1 1,BC,00 01 11 10,01,A,1 1 1 1,1 1 1 1,01,BC,A,00 01 11 10,三变量卡诺图的典型合并情况,00 01 11 10,0001 11 10,CD,AB,1,1,1,1,1,四变量卡诺图的典型合并情况,1,1,1,非时序逻辑系统设计举例一,公共汽车门用气动控制，司机和售票员各有一个气动开关控制汽车门，要求：为安全起见，司机和售票员都发出关门信号，门才关；车到站，一人发出开门信号，门就开。若汽车门用单作用缸驱动，控制阀用手动二位三通换向阀。试设计该气控回路。 设：司机和售票员的气动开关为a、b，开门信号记为“1”，关门信号为“0”，门开S 记为“1”。 列真值表 a b s 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1,写逻辑函数并化简： 积和式 S = a b+a b+ab = a+b,绘制逻辑原理图,绘控制回路图,非时序逻辑系统设计举例二,某生产自动线上要控制温度、压力、浓度三个参数，任意两个或两个以上达到上限，生产过程将发生事故，此时应自动报警。设计自动报警气控回路。 设：温度、压力、浓度为三个输入的逻辑变量 a、b、c。达到上限记“1”，低于下限记“0”，报警记 s =1，不报警记 s =0。 列真值表 a b c s 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1,写逻辑函数并化简 ： s =ab c+a b c+a bc+abc = ab+（a+b）c,a+b）c,画报警回路逻辑原理图和气路图,. 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子。,. 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中只包含公共因子。,. 若八个最小项相邻并排成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。,3.用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）,尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。 圈的个数尽量少。 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。,4.用卡诺图化简逻辑函数的步骤： 画出逻辑函数的卡诺图。 合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。,例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15),解：,例：用卡诺图化简逻辑函数 F(A, B, C, D)=m(2, 3, 8, 9, 10,12, 13),解：,或,例：用卡诺图把逻辑函数 F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15) 化简成最简或与表达式。,1)、 约束项,例如，有三个逻辑变量A、B、C，它们分别代表一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。ABC的取值只可能是001、010、100当中的某一种，而不能是000、011、101、110、111中的任何一种。因此，A、B、C是一组具有约束的变量。,可写成：,约束项：恒等于0的最小项,2.8 具有无关项的逻辑函数及其化简,2)、任意项,有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。,任意项：在某些变量取值下，其值等于1或等于0的那些最小项称为任意项。,3)、无关项,约束项和任意项统称为无关项。,讨论：,2.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。 同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为1时，函数值是1还是0无所谓。,2. 在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1。既然可以认为无关项包含于函数式中，也可以认为不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入1，也可以填入0。为此，在卡诺图中用表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以认为它是0。,4)、无关项在化简逻辑函数中的应用,例: 化简具有约束的逻辑函数,给定约束条件为：,解：采用公式化简法,例: 化简具有约束的逻辑函数,给定约束条件为：,解：采用卡诺图化简法,例:试化简逻辑函数,已知约束条件为,解：卡诺图化简法,说明：采用画1的包围圈化简，结果通常为与或表示式。若要求用其他形式表示怎么办？,常用的逻辑函数表达式有五种：,1、与或：画1的包围圈直接得出；,2、与非-与非：画1的包围圈，再运用反演律变换得出；,3、与或非：画0的包围圈直接得出；,4、或与：画0的包围圈，再运用反演律变换得出；,5、或非-或非：画0的包围圈，再两次运用反演律变换得出。,例：将F化简后，变换为“与非-与非”形式。,1,1,1,1,1,“与或”形式,“与非-与非”形式,例：将F化简后，并变换为“或与”、“或非-或非”形式。,0,0,0,0,0,0,0,“与或非”形式,“或与”形式,“或非-或非”形式,
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