数学归纳法及其应用举例

第二章第二章 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例教学目标（1）掌握数学归纳法的思想（2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓展，也是一种重要的数学方法可以使学生学会一种研究数学的科学方法重点难点重点重点：归纳法意义的认识和数学 归纳法产生过程的分析难点难点：数学归纳法中递推思想的 理解演绎推理演绎推理推理方法推理方法归纳推理归纳推理(一般到特殊一般到特殊)(特殊到一般特殊到一般)完全归纳完全归纳不完全归纳不完全归纳三段论三段论教学内容(1)不完全归纳法引例 明朝刘元卿编的明朝刘元卿编的应谐录应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是的结论，用的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的是错误的 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明大徒弟聪明(2)完全归纳法对比引例教学内容例题引入例题引入问题情境一问题情境一:问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？个小球，如何证明它们都是绿色的？问题问题 2:如果如果an是一个等差数列，怎样得到是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d?完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法 模模 拟拟 演演 示示在等差数列在等差数列an中，已知首项为中，已知首项为a1，公差为，公差为d，那么，那么a1=a1=a1+0 d,a2=a1+d=a1+1 d,a3=a2+d=a1+2 d,a4=a3+d=a1+3 d,an=?归纳归纳an=a1+(n 1)d数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：费马费马(1601-1665)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。201234221351725765537.21nnnnaaaaaaaN中，结论：是质数(n)欧拉欧拉(17071783)，瑞，瑞士数学家及自然科学家。士数学家及自然科学家。2521542949672976700417 641nnana中，时，费马您错了！问题情境二问题情境二:不完全不完全归纳法归纳法 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法归纳法:（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法:考察考察部分部分对象，得到一般结论的推理方法对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法优点：考查全面，结论正确优点：考查全面，结论正确;缺点缺点：工作量大，有些对象无法全面考查：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出结论快优点：考查对象少，得出结论快;缺点缺点：观察片面化，结论不一定正确：观察片面化，结论不一定正确.如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；）处理第一个问题；（2 2）验证前一问题与后一问题有递推关系）验证前一问题与后一问题有递推关系.（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于第（相当于第K块骨牌能推倒第块骨牌能推倒第K+1块骨牌）块骨牌）问题情境三问题情境三:数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论其格式主要有两个步骤、一个结论:（1 1）验证当）验证当n n取第一个值取第一个值n n0 0（如如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确；等）时结论正确；验证初始条件验证初始条件（2 2）假设）假设n=kn=k时结论正确，在假设之下，证明时结论正确，在假设之下，证明n=k+1n=k+1时结论也时结论也正确；正确；假设推理假设推理（3 3）由（）由（1 1）、（）、（2 2）得出结论）得出结论.点题点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整一、数学归纳法定义：一、数学归纳法定义：例例1、是否存在常数、是否存在常数a、b,使得等式使得等式:对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.2)12)(12(5323112222bnnannnn解解:令令n=1,2,并整理得并整理得.41,231013bababa以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(1)当当n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当假设当n=k时结论正确时结论正确,即即:.24)12)(12(5323112222kkkkkk则当则当n=k+1时时,.2)1(4)1()1(6423)32)(12(2)2)(12)(1()32)(12(2)2232)(1()32)(12(2)1(2)32)(1()32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(5323112222222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk故当故当n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论正确结论正确.例例2、已知正数数列、已知正数数列an中中,前前n项和为项和为sn,且且 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:.12nnnaaS.1nnan证证:(1)当当n=1时时,=1,结论成立结论成立.111,11)1(211211111aaaaSa(2)假设当假设当n=k时时,结论成立结论成立,即即.1kkak则当则当n=k+1时时,.)111(21)1(21kkkkkaaSkkk).0(1012)1(21111211111kkkkkkkkkakkaakakaaSSa故当故当n=k+1时时,结论也成立结论也成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论都成立结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：数学归纳法证明整除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.例、平面内有例、平面内有n(n 2)条直线，任何两条都不平行，任何条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数三条不过同一点，问交点的个数 为多少为多少?并证明并证明.)(nf2)1()(nnnf当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN原命题均成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1,而而f(2)=f(2)=2 2(2-1)=1,(2-1)=1,命题成立。命题成立。21 k+1k+1条直线交点个数条直线交点个数=f(k)+k=k(k-1)+kf(k)+k=k(k-1)+k =k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。212121212 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN,k2,k2)时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)=k(k-1),f(k)=k(k-1),21(3)数学归纳法证明几何问题：数学归纳法证明几何问题：例例1用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列，则则a an n=a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nNnN*都成立。都成立。例题讲解例题讲解证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时,左边左边=a=a1 1,右边右边=a=a1 1+（1-1)1-1)d=ad=a1 1,当当n=1n=1时，等式成立时，等式成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时等式成立，时等式成立，即即 a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 则当则当n=k+1n=k+1时时a ak k+1+1=a=ak k+d+d =a =a1 1+(k-1)d+d+(k-1)d+d =a =a1 1+(k+1)-1d+(k+1)-1d当当n=k+1n=k+1时，等式也成立。时，等式也成立。由由(1)(1)和和(2)(2)知知,等式对于任何等式对于任何nNnN*都成立。都成立。凑假设凑假设结论结论从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什有什么变化么变化证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立 (2)假设假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时等式成立时等式成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据例例2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2 练练习习用数学归纳法证明用数学归纳法证明:(1)1(21321nnn（2）1+2+22+2n-1=2n-1（3）首项是）首项是a1，公比是，公比是q的等比数列的通项公式是的等比数列的通项公式是an=a1qn-1感悟与收获 (1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法本节的中心内容是归纳法和数学归纳法;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种纳法和不完全归纳法二种;(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行须作出证明，证明可用数学归纳法进行;(4)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。必须要利用假设的结论。今 日 作 业课本课本P27P27习题习题2.12.1第第4 4题，第题，第5 5题。题。