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黄冈中学新课标初中数学二次函数知识点总结20年中考模拟题真题考点知识点记忆口诀 收集整理了近二十年 中考数学试题真题与模拟题， 穷尽一切二次函数知识点与考点， 仔细体会下每一知识点与考点之真实意图 理解中记忆，记忆中理解 2y,ax，bx，c(a,b,c1.定义:一般地，如果是常数，a,0)，那么叫做x的二次函数. y2y,ax2.二次函数的性质 2y,ax(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴. y2y,axa(2)函数的图像与的符号关系. , ?当时抛物线开口向上顶点为其最低点; a,0,?当时抛物线开口向下顶点为其最高点. a,02y,ax(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. y(a,0)2y,ax，bx，c3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线. y22y,ax，bx，c4.二次函数用配方法可化成:的形式，其中，y,ax,h，k2b4acb,hk,，,. 2a4aone 222y,axy,ax，k5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;?;?，y,ax,h22y,ax，bx，c;?. ，y,ax,h，k6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ?的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下; aa,0a,0相等，抛物线的开口大小、形状相同. a?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. yyx,hx,07.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 22b4acb,2yaxbxcax8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:，?顶点是,，,，,2a4a,2b,b4acb(，),x,，对称轴是直线. 2a4a2a2 (2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，hky,ax,h，k对称轴是直线. x,h(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 2y,ax，bx，c9.抛物线中，a,b,c的作用 2y,axaa (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 2y,ax，bx，ca (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线 bbbx,a，故:?时，对称轴为轴;?,0(即、同号)时，对称轴在轴左侧;bb,0yy2aaba?,0(即、异号)时，对称轴在轴右侧. bya2y,ax，bx，cc (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. y2y,cy,ax，bx，cc 当时，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，): yx,0?，抛物线经过原点; ?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴. yyc,0c,0c,0two b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . ,0ya10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 (0,0)(轴) yx,0y,ax 2) (0, k(轴) yx,0y,ax，k 2 (,0) hx,h ，y,ax,h当时 a,02开口向上 (,) hkx,h ，y,ax,h，k当时 a,0b22x, y,ax，bx，c b4ac,b,，() 2a开口向下 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式 2y,ax，bx，c (1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. xy2 (2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ，y,ax,h，kxx，y,ax,xx,x (3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:. x211212.直线与抛物线的交点 2y,ax，bx，cc (1)轴与抛物线得交点为(0, ). y22y,ax，bx，c (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). ah，bh，chyx,h(3)抛物线与x轴的交点 2xy,ax，bx，cx 二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程212的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别ax，bx，c,0式判定: , ?有两个交点抛物线与x轴相交; ,0,x ?有一个交点(顶点在x轴上)抛物线与轴相切; ,0,抛物线与x轴相离. ?没有交点,0x (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵2坐标为，则横坐标是的两个实数根. ax，bx，c,kkthree 2，y,ax，bx，ca,0y,kx，nk,0 (5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方lGy,kx，n程组 的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时,与有两个交点; ?lG2y,ax，bx，c方程组只有一组解时,与只有一个交点;?方程组无解时,与没有交点. lGlG2y,ax，bx，c，Ax，0，Bx，0 (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为，xx122xx由于、是方程的两个根，故 ax，bx，c,021bcx，x,x,x,1212aa22b4cb,4ac,22AB,x,x,x,x,x，x,4xx,， ,12121212aaaa,一次函数与反比例函数 考点一、平面直角坐标系 (3分) 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。 a,b考点二、不同位置的点的坐标的特征 (3分) 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限,x,0,y,0 点P(x,y)在第二象限,x,0,y,0 ,x,0,y,0点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限,x,0,y,0 2、坐标轴上的点的特征 ,y,0点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 ,x,0,点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0) four 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 ,点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ,4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 ,点P与点p关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 ,点P与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 ,6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点P(x,y)到x轴的距离等于 y(2)点P(x,y)到y轴的距离等于 x22x，y(3)点P(x,y)到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念 (38分) 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 (2)列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 (310分) 1、正比例函数和一次函数的概念 ,y,kx，b一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。 ,y,kx，by,kx特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比five 例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数的图像是经过点(0，b)的直线;y,kx，b正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。 y,kxk的符号 b的符号 函数图像 图像特征 y图像经过一、二、三象限，y随xb0 0 x 的增大而增大。 k0 y 图像经过一、三、四象限，y随xb0 的增大而减小 0 x K0 y 图像经过二、三、四象限，y随xb0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大; (2)当k0时，y随x的增大而增大 (2)当k0 k0时，函数图像的两个分支分别 ?当k0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 k确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要y,x一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 seven 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 k如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形y,(k,0)xkPMON的面积S=PMPN=。 。 ,y,x,xy？y,？xy,k,S,kx二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 (38分) 1、二次函数的概念 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 b二次函数的图像是一条关于x,对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征: ?有开口方向;?有对称轴;?有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 2y,ax，bx，c(2)求抛物线与坐标轴的交点: 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 (1016分) 二次函数的解析式有三种形式: 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)(1)一般式: 2y,a(x,h)，k(a,h,k是常数，a,0)(2)顶点式: 22y,ax，bx，cxx(3)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和ax，bx，c,01222ax，bx，c,a(x,x)(x,x)y,ax，bx，c存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转12y,a(x,x)(x,x)化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 12考点三、二次函数的最值 (10分)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大2b4acb,y,x,值(或最小值)，即当时，。 最值4a2aeight b如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，x,x,xx,x,x,12122a24acb,by若在此范围内，则当x=时，,;若不在此范围内，则需要考虑函数在范x,x,x,12最值4a2a2x,xx,x围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当y,ax，bx，c2122最大22x,x时，;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，y,ax，bx，cy,ax，bx，c11111最小最大2x,x当时，。 y,ax，bx，c222最小考点四、二次函数的性质 (614分) 1、二次函数的性质 二次函数 函数 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0) a0y y 图像 0 x 0 x (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸; (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸; bbbb(2)对称轴是x=，顶点坐标是(，顶点坐标是(，,(2)对称轴是x=,2a2a2a2a224acb4acb,); ); 4a4abb(3)在对称轴的左侧，即当x时，y随x(3)在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减x,时，y随x的增大而减小，简记左,2a2a右增; 增右减; bb(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小(4)抛物线有最高点，当x=时，y有最,2a2a224acb4acb,yy,值， 大值， 最小值最大值4a4anine 2y,ax，bx，c(a,b,c是常数，a,0)2、二次函数中，的含义:表示开口方向:0aaa、b、c时，抛物线开口向上， 0时，图像与x轴有两个交点; ,当=0时，图像与x轴有一个交点; ,当0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”( hk概括成八个字“同左上加，异右下减”( 22yaxbxc,，三、二次函数与的比较 yaxhk,，222yxx,，245yaxbxc,，请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。 yaxhk,，总结: 22yaxbxc,，从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yaxhk,，222bacb4,bacb4,hk,yax,，者，即，其中( ,24aa24aa,2yaxbxc,，图象的画法 四、二次函数22yaxbxc,，yaxhk,，()五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、y对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与x00c0c2hc，x0轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与xx，12轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). nineteen 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与y轴的交点. x2五、二次函数yaxbxc,，的性质 2,bacb4,ba,0,x, 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为( ,2a24aa,bbbyyyx,x,x,当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最xx2a2a2a24acb,小值( 4a2,bacb4,bba,0,x,x,y 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为(当时，,2a24aa2a,24acb,bbx,yx,y随的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值( xx4a2a2a六、二次函数解析式的表示方法 2a,0yaxbxc,，1. 一般式:(，为常数，); acb2a,0yaxhk,，()2. 顶点式:(，为常数，); ahka,0xx3. 两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标). yaxxxx,()()x1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，2只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解xbac,40析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2a,0yaxbxc,，二次函数中，作为二次项系数，显然( aa,0 ? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; aaa,0 ? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( aaa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴( aba,0 ? 在的前提下， twenty bb,0当时，,0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;ab同号上加 2abb,0,0y当时，即抛物线的对称轴就是轴; 2abb,0,0y当时，即抛物线对称轴在轴的右侧(a,b异号下减 2aa,0? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 bb,0,0y当时，即抛物线的对称轴在轴右侧;a,b异号下减 2abb,0,0y当时，即抛物线的对称轴就是轴; 2abb,0,0y当时，即抛物线对称轴在轴的左侧(ab同号上加 2a总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( ab总结: 3. 常数项 cc,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; xc,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; 0c,0yy ? 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负( xy决定了抛物线与轴交点的位置( 总结起来，c总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的( abc二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 x 1. 关于轴对称 22yaxbxc,，yaxbxc, x关于轴对称后，得到的解析式是; 22x关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，twenty-one y 2. 关于轴对称 22y yaxbxc,，关于轴对称后，得到的解析式是yaxbxc,，; 22y关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，3. 关于原点对称 22yaxbxc,，yaxbxc,，, 关于原点对称后，得到的解析式是; 22 关于原点对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，,，4. 关于顶点对称 2b22yaxbxc,， 关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，,2a22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,，yaxhk,，mn5. 关于点对称 ，22mn关于点对称后，得到的解析式是 yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22，a 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式( 二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22yaxbxc,，一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. y,0axbxc，,0图象与轴的交点个数: x2AxBx，00? 当时，图象与轴交于两点，其中的xx，是一元二次()xx,x,bac40，1212122bac,42axbxca，,00方程的两根(这两点间的距离. ABxx,，21a,0? 当时，图象与轴只有一个交点; x,0? 当时，图象与轴没有交点. x1a,0 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有; xxy,02a,0当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有( xxy,02yyaxbxc,，2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为(0，c); 3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; x? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; 2yaxbxc,，? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符acacbb|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；twenty-two 号判断图象的位置，要数形结合; ? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的x一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxca，,(0)本身就是所含字母的二次函数;x,0轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与x 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。有两个交点 正、可零、可负 （3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.,0轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与x 只有一个交非负 点 ,0轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. 抛物线与x 186.257.1期末总复习及考试无交点 为正 30 o45 o60 oa,0下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:图像参考:2y=2x2y=x4.二次函数的应用： 几何方面2xy=23. 圆的对称性:2xy= -22y= -x第二章 二次函数2y=-2xtwenty-three 的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x第二章 二次函数twenty-four