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3.1.43.1.4 牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 如果物体以速度)t(vv)0)t(v(作直线运动，那么物体从时刻at 到时刻bt 所经过的路程为：badt)t(vAB，另一方面，如果物体经过的路程)t(SS，那么物体从时刻at 到时刻bt 所经过的路程为)a(S)b(SAB。即：)a(S)b(Sdt)t(vba，其中)t(v)t(S。定理定理：设)x(f在b ,a 上可积，且存在b ,a 上一个可微函数)x(F，使得)x(f)x(F，则 )a(F)b(Fdx)x(fba，（）简记为badx)x(fF(x)baF(x)ba。公式（）称为牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式。证明证明：任取b ,a 上的一组分点,bxxxxxxxan1ni1i21则)x(F)x(F)a(F)b(F1iin1i，由Lagrange中值定理可知，存在)x ,x(i1ii，使得,x)(fx)(F)x(F)x(Fiiii1iin1iiin1iiix)(fx)(F)a(F)b(F 从而,x max ini1令)x(f在b ,a 上可积，)a(F)b(Fx)f(limdx)x(fn1iiioba。注注：定理的条件可减弱为)x(f在b ,a 上可积且存在b ,a 上的函数)x(F，使得)x(F在b ,a 上连续；)x(F在)b ,a(内可导且)x(f)x(F。定定义义 设)x(f是定义在区间 I 上的函数，若Ix，存在函数)x(F，使得)x(f)x(F（或dx)x(f)x(dF），则称)x(F为)x(f在 I 上的一个原函数原函数。牛顿莱布尼兹牛顿莱布尼兹公式公式揭示了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。例 1计算2 20dx2xsin解：2000222xsinx21dx)xcos1(21dx2xsin214)00()12(21。例 2已知自由落体的运动速度为gtv，试求在时间区间0，T上物体下落的距离 S。解：2T02T0gT21gt21gtdtS。xyo2所围成的面积 A。例 3求由曲线xsiny 和直线0y ,2 x,0 x解：2 0 dxxsinA20 xdxsinxdxsin2xcosxcos0.4)11()11(例 4.设3x1 ,e1x0 ,x)x(fx，求3 0 dx)x(f。解：3 1 1 0 3 0 dx)x(fdx)x(fdx)x(fee21e2x33x1210。3 1 x1 0 dxexdx（1）nnn2n21n1lim222222n解：原式)nn(1 nnn)n2(1 nn2)n1(1 nn1lim222nn1)ni(1 nilimn1i2n 上式右端和式的极限可以看作函数2x1x)x(f在 1 ,0上的定积分。将区间 1 ,0等分为n个小区间例 5.利用定积分求极限ni ,n1i（n ,2 ,1i），n1xi并取nii。2x1x)x(f在 1 ,0上连续，从而在 1 ,0上可积。nnn2n21n1lim222222n1 0 2n1i2ndxx1xn1)ni(1 nilim.2ln21)x1ln(21120（2）nnsinn2sinnsinn1limn解：nnsinn2sinnsinn1limn 0 n1insinxdx1nnisinlim1.2xcos103 3.2 2不不定定积积分分3.2.13.2.1 不定积分的定义不定积分的定义 若)x(f在区间I上存在原函数，则)x(f在I上的全体原函数构成的集合称为)x(f在I上的不定积分，记为 dx)x(f。若)x(F是)x(f的一个原函数，则对任意常数 C，C)x(F也是)x(f的原函数。另一方面，若)x(F和)x(G都是)x(f的原函数，则,0)x(f)x(f)x(F)x(G1不定积分不定积分定义定义即C)x(F)x(G，其中C是一个常数。由此可知，)x(f的全体原函数可表示为C)x(F（C 为任意常数），即,RCC)x(Fdx)x(f简记为C)x(Fdx)x(f（C 为任意常数），其中)x(f)x(F（或dx)x(f)x(dF）。2.2.不定积分的基本公式不定积分的基本公式求不定积分与求导数（或求微分）是两种互逆的运算，故从导数（或微分）的基本公式，即可得相应的积分基本公式：,0)()1(Cd,0)1(Cdx,)1()2(1dxxxd),1(1)2(1Cxdxx,1)(ln)3(dxxxd,ln1)3(Cxdxx,11)(arctan)4(2dxxxd,arctan11)4(2Cxdxx,11)(arcsin)5(2dxxxd,arcsin11)5(2Cxdxx,)ln()6(dxaaadxx,ln)6(Caadxaxx,)()7(dxeedxx,)7(Cedxexx,cos)(sin)8(xdxxd,sincos)8(Cxxdx,csc)11(2CCotxxdx,tansec)10(2Cxxdx,cossin)9(Cxxdx,sec)(tan)10(2xdxxd,csc)()11(2xdxCotxd,tansec)(sec)12(xdxxxd,csccsc)13(CxCotxdxxxdxxdsin)cos()9(,sectansec)12(Cxxdxx,csc)csc()13(Cotxdxxxd,)()14(chxdxshxd,)14(Cshxchxdx,)()15(shxdxchxd,)15(Cchxshxdx,1)()16(2dxxchthxd,1)16(2Cthxdxxch,1)()17(2dxxshchxd,1)17(2Ccthxdxxsh3 3不定积分的基本性质不定积分的基本性质性质性质 1 （1）dx)x(fdx)x(fd)x(fdx)x(f或；（2）C)x(fdx)x(f或C)x(f)x(df。（1）式表明，若先求积分，后求导数（或求微分），（2）式表明，若先求导数（或求微分）后求积分，则两者作用抵消后还留有积分常数 C。则两者作用相互抵消。性质性质 2 2 dx)x(fkdx)x(kf(K 为常数，0k)。性质性质 3 3 dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f。性质 3 可推广到任意有限多个函数的代数和的情形：dx)x(f)x(f)x(f n21.dx)x(fdx)x(fdx)x(fn21 利用基本积分公式和基本性质求不定积分的方法叫做直直接接积积分分法法。例 1.求下列不定积分（1）dx)10 x12x3x15x2(222解：dx)10 x12x3x15x2(222dxx12dx x1152dx x132dx10dxx1122x4xarctan5x3Cx10 xarcsin2。（2）dxxx)x3xxx2(2解：dxxx3xx2dxxx)x3xxx2(22322dx)x3x12(.Cxln3x2x2（3）dx)32(2xx解：dx)9624(dx)32(xxx2xx.C9ln96ln624ln4xxx（4）xcosxsindx22解：dxxcosxsinxcosxsinxcosxsindx222222.Cxcotxtandx)xcscx(sec22（5）dx)1x(x1x2222解：dx)1x(x1x2222dxx12dx1x12Cxarctanx1.（6）dx x2cos1xcos1解：dx xsin2xcos1dx x2cos1xcos12.C)xcscxcot(21dx)xcscxcotx(csc2124 4.不不定定积积分分的的几几何何意意义义 若)x(F是)x(f的一个原函数，则称)x(Fy 的图形是)x(f的一条积积分分曲曲线线，因为不定积分是原函数的全体，所以dx)x(f在几何上表示积分曲线族积分曲线族C)x(Fy，其图形可以由曲线)x(Fy 沿y轴的方向上下平行移动而得到。由于)x(f)x(FC)x(F，因此，任意一条积分曲线在横坐标为x的点处切线的斜率都等于)x(f，也就是说积分曲线族在横坐标为 x 的点处的切线是互相平行的。xyoC)x(Fyx作作 业业 习习 题题 3.23.2 （P162P162）8(1)(4)(6)(8)8(1)(4)(6)(8)；9(3)(5)(7).9(3)(5)(7).3.2.23.2.2 变上限的定积分变上限的定积分1、变上限的定积分、变上限的定积分.b,a x,f(t)dt)x(xc 积分xc dt)t(f称为变变上上限限的的定定积积分分。设)x(f在b,a 上连续，b,a c，则对b,a x，定积分xc dt)t(f存在，这就确定了b,a 上的一个函数，记为)x(，即2 2.定理定理 1 1 设函数)x(f在b,a 上连续，b,a c，则)x(ff(t)dt )x(xc ，b,a x。证明证明：设b,a x，且xxb,a，则,)x()xx()x(xc xxc f(t)dt f(t)dt .f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt xx xxc xx xxc xc f(t)dt)x(在b,a 上可导，且由积分中值定理知，在x与xx之间至少存在一点，使,x)(ff(t)dt (x)xx x)x(f在区间b,a 上连续，当0 x 时，有x，)x(f)(f，)x(f)(flimx(x)lim(x)x0 x，即)x(f)x(。定理 1 说明当)x(f在b,a 上连续时，xa f(t)dt)x(是)x(f在b,a 上的一个原函数，从而可知连续函数必存在原3 3.变限求导公式变限求导公式（1）)x(ff(t)dt xa ；（2）)x(ff(t)dtb x；（3）)x()x(ff(t)dt(x)a ；（4）)x()x(ff(t)dtb (x)；（5）)x()x(f)x()x(ff(t)dt(x)(x)。函数，故定理 1 也称为原函数存在定理原函数存在定理。例 1求下列函数的导数dxdy。（1）x0 tdtey2解：22xx0 te)dte(dxdy。（2）0 x1)dtcos(3ty解：1)(3xcosdxdy。（3）x0 2)dtsin(ty 解：xsinx21)x()xsin(dxdy2。（5）0ostdtcdtex0 y0 t，解：0osxcdxdyey，yexcosdxdy，由原方程解出，xsin1ey，故1xsinxcosdxdy。（4）xlnx1(t)dtfy，求dxdy。解：)x1(fx1)x(lnfx1)x1)(x1(f)x)(lnx(lnfdxdy2。（6）2x0 2dtt1xsiny解：2x0 2dtt1xsinyx2)x(1xsindtt1xcosdxdy22x0 22.x1xsinx2dtt1xcos4x0 22例 2求x0 x0230 xdt)tsint(ttdtsinlim2解：x0 x0230 xdt)tsint(ttdtsinlim2.12x21x6limxcos1x6limxsinxx2lim220 x20 x30 x)xsinx(xxsinx2lim2230 x例 3设)x(f在b,a 上连续，且0)x(f。证明：方程0f(t)dtf(t)dt xb xa 在b),a(内有且只有一个根。证明证明：令 xb xa f(t)dtf(t)dt)x(F，显然)x(F在b,a 上连续，不妨设0)x(f，则,0f(t)dt)a(Fa b ,0f(t)dt)b(Fb a 故由零点定理可知，至少存在一点)b ,a(，使得,0)(F 即方程0)x(F在b),a(内至少有一个根。2)x(f1)x(f)x(F，)x(F在b,a 上单调增加，方程0)x(F在b),a(内只有一个根。当0)x(f时，可类似证得结论。故方程0f(t)dtf(t)dt xb xa 在b),a(内有且只有一个根。例 4设)x(f是以 T 为周期的连续函数，试证对任意x有：,f(t)dtf(t)dt)1 (T 0 T x x0f(x)f(x)f(x)T)f(x)x(F，)x(F是一个常数，从而)0(F)x(F，即T 0 T x xf(t)dtf(t)dt。.f(t)dtnf(t)dt)2 (T 0 Tna a （1）证明证明：令T x xf(t)dt)x(F，则.f(t)dtf(t)dt)x(FT x0 0 x（2）证明证明：T 为)x(f的周期，nT 也为)x(f的周期。由（1）得：nT 0 Tna a f(t)dtf(t)dtTn 1)T(n T2 T T 0 f(t)dtf(t)dtf(t)dt.f(t)dtnf(t)dtf(t)dtf(t)dtT 0 T 0 T 0 T 0 例 6设)x(f是),0上的单调减少的连续函数。证明：当0 x 时，0)f(t)dt3t(x x0 22。证明证明：令 x0 22)f(t)dt3t(x)x(F，则 x0 2 x0 2f(t)dt3tf(t)dtx)x(F，f(x)3x)x(fxf(t)dtx2)x(F22 x0 f(x)2x)(xfx22（积分中值定理积分中值定理）f(x).)(f 2x2（其中x0）)x(f在),0上的单调减少，f(x)(f，从而0)x(F，故)x(F为单调增加函数。当0 x 时，,0)0(F)x(F.0)f(t)dt3t(x x0 22作作 业业 习习 题题 3.23.2（P162P162）2(1)(3)2(1)(3)；3 3；6 6；7 7；1111；1212；1313
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