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第二课时数列的通项公式与递推公式数列的递推关系提出问题某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位问题1：写出前五排座位数提示：20,22,24,26,28.问题2：第n排与第n1排座位数有何关系？提示：第n1排比第n排多2个座位问题3：第n排座位数an与第n1排座位数an1能用等式表示吗？提示：能an1an2.导入新知如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式化解疑难1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项2有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，2n1，的一个通项公式为an2n1(nN*)，用递推公式表示为a11，anan12(n2，nN*)数列的表示方法例1根据数列an的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n5，且nN*)(1)an(1)n2；(2)an.解(1)数列an的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图所示(2)数列an的前5项依次是2，图象如下图所示类题通法通项公式法、列表法与图象法表示数列的优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算公式法是常用的数学方法(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势活学活用一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n)12345678剩余邮件数(an)7121516151270由递推公式求数列中的项例2已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.类题通法根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式活学活用设数列an满足a12，an2(n1，nN*)，试写出这个数列的前4项解：a12，an2(n1，nN*)，a22，a32，a42.由递推公式归纳数列的通项公式例3已知数列an的第1项是2，以后的各项由公式an(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列an的通项公式解可依次代入项数进行求值a12，a22，a3，a4，a5.即数列an的前5项为2，2，.也可写为，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇数，所以an(nN*)类题通法根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式活学活用已知数列an满足a11，anan1(n2)，写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式解：a11，a2a11，a3a2，a4a3，a5a4.故数列的前5项分别为1，.由于1，故数列an的一个通项公式为an2.2巧析递推数列求通项公式两种常用方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法【角度一】累加法若数列an满足an1anf(n)，需用累加法，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1来求an.例1已知a11，an1an2，求数列an的一个通项公式解a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，将这些式子的两边分别相加，(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，an2n1(n2)，当n1时，a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2n1.【角度二】累乘法若数列an满足f(n)，需用累乘法，即ana1来求an.例2已知数列an中，a12，an13an(nN*)，求数列an的通项公式解由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.随堂即时演练1符合递推关系式anan1的数列是()A1,2,3,4，B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：选BB中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1.2数列，的递推公式可以是()Aan(nN*) Ban(nN*)Can1an(nN*) Dan12an(nN*)解析：选C数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为an1an(nN*)3设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式an_.解析：(n1)aan1anna0，(an1an)(n1)an1nan0，又an1an0，(n1)an1nan0，即，a11，an.答案：4已知数列an满足a10，(nN*)，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”)解析：由已知a10，an1an(nN*)，得an0(nN*)又an1anananan0，(n1)an1nan0.ana11.法二：(换元法)由已知得(n1)an1nan0，设bnnan，则bn1bn0.bn是常数列bnb11a11，即nan1.an.11
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