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第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1)(C)sin(x)ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容一、和、差、积、商的求导法则定理定理).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略.hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf推论推论)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnaxln1(C为常数)例例1 1.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例2 2.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.如果函数如果函数()xf yyI在区间在区间内单调、可导，且内单调、可导，且()0fy，则它的反函数，则它的反函数1()yfx在区间在区间|(),xyIx xf yyI内也可导，且内也可导，且11(),()fxfy 或或1dydxdxdy证证:在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因而因而,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有10()limxyfxx lim0yyx 1()fy11例例3 3.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例4.求指数函数的导数求指数函数的导数.设,)1,0(aaayx那么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e()arcsin(x211x)arccos(x211x)arctan(x211x)cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:在点在点 x 可导可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu)(ufy 在点在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy)(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导,故故)(lim0ufuyuuuufy)(（当（当 时时 )0u0故有故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中等于因变量对中间变量求导间变量求导,乘以中间变量对自变量求乘以中间变量对自变量求导导.(链式法则链式法则)推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.例例5 5 求导数：求导数：解解ln(0)yxx10lnxyxyx，110ln()(1)xyxyxx，1ln xx 例例6 6.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例7 7.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a例例8 8.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 抽象复合函数求导举例抽象复合函数求导举例例例9 9 求下列函数的导数求下列函数的导数)2(sin.1xfy 解解:)(sin(sinxxfy22xxf222cos)(sin)(arctan)(arcsin.22xgxfy 解解:4221212)(arctan21)()(11xxxgxxfxfy )()(ln.3xfxgxy 解解:)()()(ln)()(ln2xfxfxgxxfxgxy )()()(ln)(1)(ln)(ln212xfxfxgxxfxxgxxgx )()()(ln)()(ln)(ln212xfxxfxxgxfxgxg 例例1010.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 四、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.必须记住必须记住:P94全部导数公式全部导数公式.作业作业P 967 (7),(8),(9),(10);P 967 (7),(8),(9),(10);8 (6),(7),(8),(9),(10);8 (6),(7),(8),(9),(10);9;10;9;10;12 (3),(4),(5),(8),(10)12 (3),(4),(5),(8),(10)要求：做完后自己先核对答案书要求：做完后自己先核对答案书359359页开始），页开始），实在查不出错误的问题划上问号实在查不出错误的问题划上问号课外阅读例课外阅读例1616双曲函数导数公式双曲函数导数公式
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