弹性力学 徐芝纶版 第二章.ppt

复习,1. 体力,2.面力,二、应力,一、外力,1. 定义,2. 一点的应力状态:是指一点沿任意方向应力情况的集合。,3. 应力符号的规定：正面上沿坐标轴正向的为正；负面上沿坐标轴负向的为正。,1. 正应变,2. 切应变,三、形变,五、弹性力学基本假设,四、位移,物体内任一点位置的移动。一般用在三个坐标中的投影表示，符号：,连续性假设；,均匀性假设 ；,各向同性假设 ；,完全弹性假设 ；,小变形假设 。,新课开始.,弹性力学,第二章 平面问题的基本理论,2-1 平面应力问题与平面应变问题,一、平面应力问题,1.形状特点：物体是很薄的等厚度板，即：z向尺寸远小于板面尺寸。,2.外力特点:体力和面力均平行于xoy面作用，且沿板厚均匀分布。,注：(1)力学中的“薄”往往意味着力学量不沿厚度变化。,(2) 加上外力垂直厚度方向不沿厚度变化使这种不变性更合理。,3.应力特点（假设）：,在前后自由面上,物体很薄,体力和面力均沿板厚均匀分布,（1）应力沿z轴没有变化，即:应力只是x, y的函数。,（2）只有,三个应力分量，且只是x，y的函数，所以称平面应力问题。,（2）只有,各点沿z向的位移、应变一般并不等于0。,例如：沿x或y向拉伸时，沿z向会收缩。,2.应力只是x、y的函数。,平面应力问题的两个特征：,1. 只有三个平面应力：,并非作用于 xoy 面内，而是与之平行。,二、平面应变问题,平面应变问题中物体的特点：,1.形状特点:,z 向尺寸远大于xoy面的尺寸，为等截面的长柱体(理论上无限长）。,2.外力特点：,外力均平行于xoy面，且沿z 轴无变化。,3变形特点：,如图当柱体无限长时，任意垂直于z轴的横截面都是无限长柱体和载荷的对称面,平面位移问题,位移,（3）应力,注意：一般来讲,平面应变问题（平面位移问题）,2.应变只是x、y的函数。,1. 只有三个平面应变：,特征：,工程中的平面应变问题,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,判断平面应力和平面应变问题的关键是它们的两个本质特征,符合平面应变问题的特征,例（P32习题2-4）,薄板,左右边缘无z向位移,2-2，4，5 平面问题的基本方程,（一）平衡微分方程,如图从平面应力（变）物体中取单元体,平面问题可取厚为1，长dx,宽dy。,其中：,因为单元体是微小的，所以它上面所受的应力可以认为是均匀的，由单元体平衡得：,将,代入,同理可得：,再由,可得：,化简后同除于dx,dy得：,例：材料力学中横力弯曲时矩形横截面上的正应力公式为：,试利用平衡方程并考虑材料力学的假设导出横截面上的切应力。不计体力。,解：根据材料力学假设对于梁来讲只有： 且均为x，y的函数,属于平面应力问题。代入平衡微分方程得：,其中：Fs为横截面上的剪力,是x的函数。 f(x)是待定的函数，由边界条件确定。,（二）几何方程,如图，研究P(x, y)点的形变和位移的关系：,设PA=dx，PB=dy，P点的位移是u，v,则A的位移是,B点的位移是：,则沿x方向的应变为：,同样沿y方向的应变为：,而切应变为：,（三）物理方程（胡克定律）,在完全弹性的条件下，应力应变应满足:,式中：E（拉压）弹性模量； 泊松比（系数）； G切变模量（剪切弹性模量，刚度模量）。,1.平面应力状态下：,代入得到和三个平面应力对应的物理方程：,平面问题中，以三个平面应力及应变为未知量：,用应变表示应力：,2平面应变状态下：,由,可得：,只要将平面应力状态中的E换为,换为,即得平面应变状态的公式。,代入得到平面应变对应的物理方程：,或：,上述方程中共有8个未知量，正好可以用8个方程求解。但由于偏微分方程的存在，只能结合边界条件求解。,任意形状的薄板，其表面自由并与xoy面平行。若已知各点位移为,试求板内的应变分量与应力分量。,思考与练习,思考P31：2-1，2-2，2-7,