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第8章,解三角形,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.,若sin B1，一解；若sin B1，两解.,(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，这是关于c的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.,2.三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径： 一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：,3.解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.,题型一利用正弦、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法是： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角.,(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.,因此A60.在ABC中，C180AB120B.,题型二与解三角形有关的综合问题 该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.,2sin Acos Csin A.A(0，)，sin A0，,(2)求a，b的值.,由余弦定理得：c2a2b22abcos C，,由得a8，b5或a5，b8.,题型三正弦、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；,(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.,例3如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻，监测点B,收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.,(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； 解由题意PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km). PB(x12)(km)，PC(18x)(km). 在PAB中，AB20 km，,cosPABcosPAC，,(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离PD(精确到0.01 km).,所以静止目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km.,跟踪演练3甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ 解设甲、乙两船经t小时后相距最近，且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时.,当0t2时，在APQ中，AP8t，AQ2010t，,当t2时，PQ8216. 当t2时，在APQ中，AP8t，AQ10t20，,题型四函数与方程思想的应用 与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.,例4在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a，c的长.,(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；,函数f(x)的最小值是2，,即3a2b2ab， 由解得a1，b2.,课堂小结 1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB等价于ab等价于sin Asin B. 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.,
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