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第8章,解三角形,8.2余弦定理(二),学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.以下问题不能用余弦定理求解的是 . (1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. (2)已知两角和一边，求其他角和边. (3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角. (4)已知一个三角形的三条边，解三角形.,(2),2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是 . (1)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为直角三角形. (2)在ABC中，若a2 b2c2，则ABC为钝角三角形.,(1)(3),2R,2Rsin A,2Rsin B,2Rsin C,2.余弦定理及其推论 (1)a2 ，b2 ， c2 . (2)cos A ；cos B ；cos C . (3)在ABC中，c2a2b2C为 ； c2a2b2C为 ； c2a2b2C为 .,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,钝角,锐角,直角,3.三角变换公式 (1)cos () ； (2)cos () ； (3)cos 2 .,cos cos sin sin ,cos cos sin sin ,cos2sin2,2cos21,12sin2,要点一正弦、余弦定理的综合应用 例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.,解在ABD中，AD10，AB14，BDA60，设BDx，,由余弦定理，得 AB2AD2BD22ADBDcos BDA， 142102x2210 xcos 60， 即x210 x960，解得x116，x26(舍去)， BD16. ADCD，BDA60，CDB30.,规律方法余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.,跟踪演练1在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b. 解方法一在ABC中，sin Acos C3cos Asin C， 则由正弦定理及余弦定理有,化简并整理得2(a2c2)b2.,又由已知a2c22b，4bb2.解得b4或b0(舍). 方法二由余弦定理得：a2c2b22bccos A. 又a2c22b，b0.所以b2ccos A2. 又sin Acos C3cos Asin C， sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C， sin (AC)4cos Asin C，即sin B4cos Asin C，,要点二利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2在ABC中，有(1)abcos Cccos B； (2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明. 证明方法一(1)由正弦定理得b2Rsin B，c2Rsin C，,bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C)2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B.同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二(1)由余弦定理得,abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,规律方法(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左右；右左；左中右三种. (2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.,跟踪演练2在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，,等式成立.,等式成立.,要点三利用正弦、余弦定理判断三角形形状 例3在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状. 解由(abc)(bca)3bc，得 b22bcc2a23bc，,b2c2，bc，ABC为等边三角形.,规律方法题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.,跟踪演练3在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状. 解方法一根据余弦定理得b2a2c22accos B.,整理得(ac)20，ac.,又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形.,方法二根据正弦定理，2bac可转化为 2sin Bsin Asin C. 又B60，AC120.C120A， 2sin 60sin Asin (120A)， 整理得sin (A30)1，0A120，30A30150，A3090，A60，C60.ABC是正三角形.,1,2,3,4,A,1,2,3,4,C,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,即a26a80，解得a2或a4.,1,2,3,4,满足条件的三角形有两个.,课堂小结 1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.,2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.,4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.,
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