2013年高中数学 基础能力训练（14）

数学能力训练（14）1（本大题共12分）已知数列的前n项和为，且、的等差中项为1.（）写出；（）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（）设，求的值。2长方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1上的点。（如图）(1) 若BEC为二面角BEB1C的平面角，则平面BCE平面B1CE，此命题是否正确？证明你的结论。(2) 写出(1)中命题的逆命题，它正确吗？证明你的结论。(3) 设ABAD1，当AA1边上有且仅有一点E，使平面BCE平面B1CE时。(文)求点B到平面B1CE的距离；(理)求点A到平面B1CE的距离。 3设，求证：4某地要建一个水库，设计的水库最大容量为1.28106m3，在山洪爆发时，预计注入水量Sn（单位为m3）与天数n（n为不大于10的正整数）的关系是Sn=50000，设水库原有水量为8105m3。泄水闸每天排水量为4104m3，若山洪爆发时的第一天就打开泄水闸，那么在10天内，堤坝是否会发生危险，若会发生危险，请计算第几天会发生危险，若不会发生危险，请说明理由。（水库水量超过最大容量时，堤坝会发生危险）。5已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，ABC三个顶点都在抛物线上，且ABC的重心为抛物线的焦点.若BC所在直线的方程为l:4x+y-20=0.()求抛物线S的方程；()若O是坐标原点，问：是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线S交于P、Q两点，且POQ=90?6定义在(1,1)上的函数f(x)满足对于任意x,y(1,1)，都有f(x)+f(y)=f(),当时x(1,0)时，f(x)0,回答下列问题： 判断f(x)在(0,1)上的单调性。 计算f()f(),f()f()f(),f()f()f()f(),猜想f()f()f(),f()的值,并用数学归纳法给予证明. 能不用数学归纳法证明上面的结论吗?若能，请证明。答案1 解：（）依题意：，计算得； （）猜想以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，,猜想成立；（2）假设当n=k时，猜想成立，即，则当n=k+1时，两式相减得，即当n=k+1时，猜想也成立综上（1）（2），对时，（）。 2解：(1)BEC为二面角BEB1C平面角，CEB1E，BEEB1，BE1面CBE，又BE1面B1CE 面BCE面B1CE(2)逆命题:若面BCE面B1CE，则BEC为二面角B-EB1-C的平面角 过B作BHCE于H，平面BCE平面B1CE且平面BCE平面B1CE=CEBH平面B1CE，又B1E平面B1CEBHB1E CBB1E BCBHBB1E平面BCEB1EBE，B1ECE即证得CEB为二面角B-EB1-C平面角(3)由(2)知当平面BCE平面B1CE时，BEC为二 面角B-EB1-C的平面角 BEB190，又满足条件的E有且只有一个。E必为AA1中点。即以BB1为直径的圆必与AA1相切于E(文)AB=1, BB1=2,BE=, 平面BCE平面B1CE。过B作BHCE于H，则BH就是B到平面B1CE的距离。在RtDBCE中，dB-CEB=BH=.(理)B1E=,CE=，S且V，=，解得。3证明：令， 。4解：设第n天会发生危险（n为不大于10的正整数）8105+Sn4104n 1.28106即Sn 1.281068105+4104n将Sn=50000代入 得：500001.281068105+4104n整理得： 54n+48两边平方得：25(n2+24n) 16(n+12)2整理得： n2+24n2560解得： n8或n12（舍去） 第9天会发生危险。5解：()设抛物线S的方程为y=2px.把直线l:4x+y-20=0代入，得2y2+py-20p=0. 由0，有p0或p-160.设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1+y2=-.同理，x1+x2= ABC的重心F( ，0)，设A(x3，y3)，则 点A在抛物线S上，p=8.抛物线S的方程为y2=16x. ()设过定点M的动直线方程为y=kx+b，交抛物线于P、Q两点，显然k0，b0.POQ=90，kPOkQO=-1. 把代入抛物线方程，得ky2-16y+16b=0. yPyQ=,从而xPxQ= k0,b0,b=-16k.动直线方程为y=kx-16k,从而y=k(x-16).动直线必过定点(16，0). 若PQ的斜率不存在，直线x=16与抛物线交于P(16，-16)、Q(16，16)两点，仍有POQ=90. 存在定点M(16，0)满足条件. 6解：令 y=0, f(x)+f(0)=f(x) f(0)=0再令y=x, f(x)+f(x)=f(0) =0 f(x) 在(1,1)上为奇函数又设任意x1,x2(0,1),且x1x2f(x1) f(x2)= f(x1) +f(x2)=f() x100 f(x1) f(x2)f(x) 在(0,1)上为减函数。 f()f()=f()+f() =f()=f()=f() f()f()=f()f()f()f()=f()f()=f()=f()f()f()f()f()=f()f()=f()=f()猜想：f()f()f(),f()=f()以下用数学归纳法证明：1) 当n=1,2,3时，由上可知，等式成立。2) 设n=k (kN)时，等式成立。即 f()+f(),+f()=f()f()n=k+1, f()+f(),+f()+f() = f()f()+f() = f()f()f() = f()f()=f()f()=f()f()n=k+1时，等式成立。3) 能，f()=f=f()=f()f() f()=f()f() f()=f()f() f()=f()f()相加得：f()+f(),+f()=f()f() 得证。