2021版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线教师用书文北师大版

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6抛物线教师用书文北师大版2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 抛物线教师用书 文 北师大版1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.3设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()1(2016四川)抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)答案D解析对于抛物线y2ax，其焦点坐标为，对于y24x，焦点坐标为(1,0)2(2017济宁质检)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A1 B2 C4 D8答案A解析由抛物线的定义，可得|AF|x0，|AF|x0，x0x0，x01.3设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A. B2,2C1,1 D4,4答案C解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.4(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5(2017合肥月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_答案2解析抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.题型一抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.引申探究1若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，|PB|PF|BF|2，即|PB|PF|的最小值为2.2若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)点P到y轴的距离d1|PF|1，所以d1d2d2|PF|1.易知d2|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2|PF|的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2016西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y28x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线xy100的距离是d2，则d1d2的最小值是()A. B2 C6 D3答案C解析抛物线方程是y28x，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程是x2(如图)，d1d2的最小值是焦点F到直线xy100的距离，即(d1d2)min6.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此(1)(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8(2)若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则SOPQ_.答案(1)B(2)解析(1)不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.(2)如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)又|PF|3，由抛物线定义知：点P到准线x1的距离为3，点P的横坐标为2.将x2代入y24x，得y28，由图知点P的纵坐标y2，P(2,2)，直线PF的方程为y2(x1)方法一联立直线与抛物线的方程解之得或由图知Q(，)，SOPQ|OF|yPyQ|1|2|.方法二将y2(x1)代入y24x，得2x25x20，x1x2，|PQ|x1x2p，O到PQ的距离d，SOPQ|PQ|d.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若0，则k_.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x24，x1x24，所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以x11，x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为y2x1(x1)思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(2016天津模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过点M(4,0)(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值(1)解由已知，得x4不合题意，设直线l的方程为yk(x4)，由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点 F到直线l的距离为，所以，解得k，所以直线l的斜率为.(2)证明设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x得(1)y2y0yyx0(x04)0，所以y1y2，因为N是AB中点，所以y0，即y0，所以x02，即线段AB中点的横坐标为定值2.6直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(12分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由思维点拨(3)中证明0.规范解答解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，)2分(2)|RF|yR，23，得m.4分(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.6分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，)8分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，10分结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形12分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况1(2017太原质检)若抛物线yax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于()A1 B. C2 D.答案D解析因为抛物线的标准方程为x2y，所以其焦点坐标为(0，)，则有1，a，故选D.2已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案B解析y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.3(2016绵阳模拟)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为()A. B. C3 D2答案D解析直线l2：x1是抛物线y24x的准线，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x1的距离等于|PF|，过点F作直线l1：4x3y60的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x3y60的距离和直线l2：x1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值为2，故选D.4已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp2答案A解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk(x)，联立y22px，得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.y1y2p2.故4.5(2016九江一模)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|6，则的值为()A. B. C. D3答案D解析设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则x126，解得x14，则y14，则直线AB的方程为y2(x2)，令x2，得C(2，8)，联立解得或则B(1，2)，|BF|123，|BC|9，3，故选D. 6.(2016济南模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为()A. B. C. D.答案C解析抛物线C的准线为l：x2，直线yk(x2)恒过定点P(2，0)，如图，过A，B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，得|AM|2|BN|，从而点B为AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，所以|OB|BF|，从而点B的横坐标为1，点B的坐标为(1,2)，所以k，故选C.7设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|_.答案12解析焦点F的坐标为，方法一直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12.8已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p_.答案2解析如图， 由AB的斜率为，知60，又，M为AB的中点过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30，|BP|AB|BM|.M为焦点，即1，p2.9已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.答案6解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.设椭圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得a4，b216412.故椭圆方程为1.把x2代入椭圆方程，解得y3.从而|AB|6.10(2016大连模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_答案(2，2)解析如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，3，|AF|AM|3，设A，13，2，y02，点A的坐标是(2，2)11(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值(1)证明设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，由得A1(，)，由得A2(，)同理可得B1(，)，B2(，)所以(，)2p1(，)(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此()2.又由 (1)中的，知，故.36