空间点线面的位置关系(优质课)课件

空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.4 空间图形的基本关系与公理 精品观察察长方体，你能方体，你能发现长方体的方体的顶点、棱所在的直点、棱所在的直线，以及以及侧面、地面之面、地面之间的关系的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直都可以看作是某个面内的直线等等等等.空空间中的点、直中的点、直线、平面之、平面之间有什么位置关系，是我有什么位置关系，是我们接下来要接下来要讨论的的问题.精品常常把水平的平面画成常常把水平的平面画成锐锐角角为为45450 0，横横边长边长等于其等于其邻边长邻边长2 2倍的平行四倍的平行四边边形形.如果一个平面被另一个平面如果一个平面被另一个平面如果一个平面被另一个平面如果一个平面被另一个平面挡挡住，住，住，住，则这则这遮遮遮遮挡挡的部分用虚的部分用虚的部分用虚的部分用虚线线画出来画出来画出来画出来也可以不画。也可以不画。.平面的概念与画法平面的概念与画法几何里的平面是无限延展的几何里的平面是无限延展的.表示表示平面平面、平面、平面、平面、平面；用表示平行四用表示平行四边形的四个形的四个顶点点或两个相或两个相对顶点的字母来表示，点的字母来表示，如平面如平面ABCDABCD或平面或平面ACAC、平面、平面BD.BD.精品1.空间点与直点与直线线的位置关系有两种：点A在直线上点B在直线外AB2.空间点与平面的位置关系有两种：点B在平面内点A在平面外记作：BA记作：记作：记作：精品3.空空间直直线与平面与平面的位置关系有三种：的位置关系有三种：直直线a与平面与平面有有无数多个无数多个公共点公共点1 1、直、直线在平面内在平面内直直线与平面与平面只有一个只有一个公共点公共点2 2、直、直线与平面相交与平面相交A a记作作：直直线aa平面平面=点点A A 直直线与平面与平面没有没有公共点公共点3 3、直、直线与平面平行与平面平行a a记作作：记作作：精品（2）两个平面相交）两个平面相交-两个平面不两个平面不重合，并且有公共点重合，并且有公共点4.空间平面与平面的位置关系有两种：（1）两个平面平行）两个平面平行-没有公共没有公共点的两个平面点的两个平面记作：作：记作：作：精品5.空空间两条直两条直线的位置关系：的位置关系：平行直平行直线相交直相交直线异面直异面直线在同一个平面内，在同一个平面内，没有公共点没有公共点的两条直的两条直线。在同一个平面内，在同一个平面内，有且只有一个有且只有一个公共点的两条直公共点的两条直线。不在任何一个平面内不在任何一个平面内，没有公共点没有公共点的两条直的两条直线。abab记作：作：a/bbaO记作：作：精品点、点、线、面之、面之间的位置关系及的位置关系及语言表达言表达点点A A在直在直线a a上上AaAa点点A A不在直不在直线a a上上AaAa点点A A在平面在平面上上AA点点A A不在平面不在平面上上A A A A文字文字语言表达言表达图形形语言表达言表达符号符号语言表达言表达A Aa aa aA AA A直直线a a在平面在平面内内a a直直线a a在平面在平面外外a aA Aa abbA A aa小小结精品 1 1、如、如图图，用符号表示下列，用符号表示下列图图形中点、直形中点、直线线、平面之、平面之间间的位置关系的位置关系alABalPb（1）（2）2.2.观观察察长长方体中点、直方体中点、直线线、平面之、平面之间间的位置关系的位置关系精品(1)过一点可以做几条直一点可以做几条直线？两点呢？两点呢？(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？思考：思考：back精品ABC公理公理1：经过不在同一直不在同一直线上的三点，有且只有一个平面上的三点，有且只有一个平面.图形形语言：言：符号符号语言：言：3.平面的基本性平面的基本性质精品推推论1 1 经过一条直一条直线和和这条直条直线外一点外一点,有且只有一个平面有且只有一个平面.ABCa已知点已知点A a，求，求证过点点A和直和直线a可以确定一个平面可以确定一个平面.3.平面的基本性平面的基本性质精品推推论2 2 经过两条相交直两条相交直线，有且只有一个平面，有且只有一个平面.推推论3 3 经过两条平行直两条平行直线，有且只有一个平面，有且只有一个平面.baab推推论1 1 经过一条直一条直线和和这条直条直线外一点外一点,有且只有一个平面有且只有一个平面.ABCa注注3：公理公理2及其三个推及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是是证明点、明点、线共面的依据，也是作截面、共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据助平面的依据.ABC公理公理2：经过不在同一直不在同一直线上的三点，有且只有一个平面上的三点，有且只有一个平面.3.平面的基本性平面的基本性质精品思考：思考：(1)不共面的四点可以确定多少个平面不共面的四点可以确定多少个平面?(2)共点的三条直共点的三条直线可以确定多少个平面可以确定多少个平面?4 个个1个或个或3个个精品图形形语言：言：AB公理公理2：若一条直若一条直线上的两点在一个平面内，上的两点在一个平面内，则这条直条直线在此平面内在此平面内.符号符号语言：言：3.平面的基本性平面的基本性质精品思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因不会！因为平面是无限延展的平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且且这些公共点在一条直些公共点在一条直线上上.3.平面的基本性平面的基本性质精品P公理公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，若两个不重合的平面有一个公共点，则它它们有且只有一条有且只有一条过该点的公共直点的公共直线.图形形语言：言：符号符号语言：言：该公理反映了平面与平面的位置关系：公理反映了平面与平面的位置关系：3.平面的基本性平面的基本性质精品3.填空填空:(1)_的三点确定一个平面的三点确定一个平面;(2)两条两条 或或 直直线确定一个平面确定一个平面;(3)有一个公共点的两个平面交于有一个公共点的两个平面交于 的一条直的一条直线.不在同一直不在同一直线上上平行平行相交相交唯一唯一4.下列命下列命题正确的是正确的是()A.经过三点确定一个平面三点确定一个平面B.经过一条直一条直线和一个点确定一个平面和一个点确定一个平面C.四四边形确定一个平面形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直两两相交且不共点的三条直线确定一个平面确定一个平面D精品5.判断下列命判断下列命题是否正确是否正确:(1)平面平面与平面与平面相交相交,它它们只有有限个公共点只有有限个公共点.(2)经过一条直一条直线和和这条直条直线外的一点外的一点,有且只有一个有且只有一个平面平面.(3)经过两条相交直两条相交直线,有且只有一个平面有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共如果两个平面有三个不共线的公共点的公共点,那么那么这两个两个平面重合平面重合.练习back精品abced我我们知道知道,在同一平面内在同一平面内,如果两条直如果两条直线都和第三条直都和第三条直线平行平行,那么那么这两条直两条直线互相平行互相平行.在空在空间这一一规律是否律是否还成立呢成立呢?观察察:将一将一张纸如如图进行折叠行折叠,则各折痕及各折痕及边 a,b,c,d,e,之之间有何关系？有何关系？a b c d e 3.平面的基本性平面的基本性质精品符号表示符号表示:caabc c(4)公理公理4：平行于同一条直平行于同一条直线的两条直的两条直线互相平行互相平行.a平行具有平行具有传递性；性；注注4：该公理是判断空公理是判断空间两条直两条直线平行的方法之一平行的方法之一.即要即要证明两条明两条直直线平行，一般利用第三条直平行，一般利用第三条直线作作为联系两直系两直线的中的中间环节.3.平面的基本性平面的基本性质精品例例 在正方体在正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，直中，直线ABAB与与C C1 1D D1 1，ADAD1 1与与BCBC1 1是什么位置关系？是什么位置关系？为什么？什么？解：解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1，C1D1 A1B1，AB C1D1 2）AB C1D1，且，且AB=C1D1 ABC1D1为平行四平行四边形形故故AD1 BC1 练习：上例中，：上例中，AA1与与CC1，AC与与A1C1的位置是什么关系？的位置是什么关系？精品例例 已知已知ABCDABCD是四个是四个顶点不在同一个平面内的空点不在同一个平面内的空间四四边形，形，E E，F F，G G，H H分分别是是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点，的中点，连结EFEF，FGFG，GHGH，HEHE，求，求证：EFGHEFGH是一个平行四是一个平行四边形形.问1:若上例加上条件若上例加上条件AC=BD，则四四边形形EFGH是一个什么是一个什么图形？形？“见中点找中点中点找中点”构造构造三角形的中位三角形的中位线是是证明平行的常用方法明平行的常用方法 EH是是ABD的中位的中位线，EH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四是一个平行四边形形证明：明：连结BD，同理，同理，FG BD且且FG=BD EH BD且且EH=BDAB DEFGHC菱形菱形精品“见中点找中点中点找中点”构造三角形的中位构造三角形的中位线是是证明平行的常用方法明平行的常用方法EFGback精品4.点点线共面共面问题(1)(1)证明的主要依据：公理明的主要依据：公理1 1；公理；公理2 2及其三个推及其三个推论.(2)(2)证明的常用方法：明的常用方法：纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的明其余有关的点、点、线在此平面内；在此平面内；辅助平面法：先助平面法：先证明有关的点、明有关的点、线确定平面确定平面，再，再证明其余元明其余元素确定平面素确定平面，最后，最后证明平面明平面、重合重合.精品例例 证明两两相交且不同点的三条直明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内必在同一个平面内.ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求求证：直：直线AB，BC，AC共面共面.证明：明：因因为ABAC=A，所以直所以直线AB，AC确定一个平面确定一个平面.（推（推论2）因因为BAB，CAC，所以，所以B，C，故故BC .（公理（公理1）因此直因此直线AB，BC，CA共面共面.确定一个面，再确定一个面，再证明其余明其余线在在该面内面内.4.点点线共面共面问题精品4.点点线共面共面问题精品证明：一条直明：一条直线与两条平行直与两条平行直线都相交，都相交，则这三条直三条直线共面共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求求证：直：直线a，b，c共面共面.证明：明：因因为a/b，所以直所以直线a，b确定一个平面确定一个平面 .（推（推论3）因因为Aa，Bb，所以，所以A，B.又因又因为Ac，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直因此直线a，b，c共面共面.4.点点线共面共面问题精品思考思考 已知一条直已知一条直线与三条平行直与三条平行直线都相交，都相交，证明明这四条直四条直线共面共面.已知：已知：a/b/c，al=A，bl=B,cl=C.求求证：直：直线l与与a，b，c共面共面.证明：明：a/b，直直线a，b确定一个平面确定一个平面.（推（推论3）l a=A，l b=B，A，B.又又Al，Bl，故，故l .同理，同理，直直线b，c确定一个平面确定一个平面，且，且l .平面平面 与与 都都过两相交直两相交直线b，l.又又两相交直两相交直线确定一个唯一的平面确定一个唯一的平面.与与 重合重合.故故l与与a，b，c共面共面.证明两个平面重合是明两个平面重合是证明直明直线在平面内在平面内问题的重要方法的重要方法.4.点点线共面共面问题精品练 已知已知a，b，ab=A，Pb，PQ/a.求求证：PQ .4.点点线共面共面问题精品(1)(1)证明的主要依据是公理明的主要依据是公理3 3：如果两个平面相交，如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点和另一平面的交点必在必在这两个平面的交两个平面的交线上上.(2)(2)证明的常用方法：明的常用方法：首先找出两个平面，再首先找出两个平面，再证这三个点都是三个点都是这两个平面的公共点；两个平面的公共点；选择其中两点确定一条直其中两点确定一条直线，然后，然后证明另一个点也在其上（一明另一个点也在其上（一般地，般地，这条直条直线看作某两个平面的交看作某两个平面的交线，往，往证第三个点也是两个第三个点也是两个面的公共点）；面的公共点）；证明三明三线共点共点问题：先：先证明两条直明两条直线交于一个点，再交于一个点，再证明第三明第三条直条直线经过这个点（个点（转化化为证明点在明点在线上的上的问题）5.证明三点共明三点共线、三、三线共点的共点的问题精品例例1 1 已知三角形已知三角形ABCABC的三条的三条边ABAB、BCBC、ACAC与平面与平面分分别交于交于P P、Q Q、R.R.求求证：P、Q、R共共线.BAQRCP证明：明：同理同理Q、R也也为公共点，公共点，所以所以P、Q、R共共线.要要证明各点共明各点共线，只，只要要证明他明他们是两个相是两个相交平面的公共点交平面的公共点.5.证明三点共明三点共线、三、三线共点的共点的问题精品空空间四四边形形ABCD中，中，E，F分分别是是AB和和CB上的点，上的点，G，H分分别是是CD和和AD上的点，且上的点，且EH与与FG相交于相交于K.求求证：EH，BD，FG三条直三条直线相交于同一点相交于同一点.分析：分析：已知已知EHFG=K，要，要证EH，BD，FG共点共点.即要即要证明明B，D，K三点共三点共线.而而BD是面是面ABD和面和面CBD的交的交线.所以所以往往证K面面ABD面面CBD.而而显然，由然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD.5.证明三点共明三点共线、三、三线共点的共点的问题精品FE精品精品ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点找两平面的两个公共点例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）精品Q即交即交线为QN例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）拓展精品精品例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）正方体中，正方体中，试画出画出过其中三条棱的中点其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状back精品正方体中，正方体中，试画出画出过其中三条棱的中点其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状S即交即交线为RS交交AA1于中点于中点GKGHST即交即交线为QT交交CC1于中点于中点HT例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）back精品KGHJ例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）正方体中，正方体中，试画出画出过其中三条棱的中点其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状back精品画出四面体画出四面体ABCDABCD中中过E,F,GE,F,G三点的截面与四面体各面的交三点的截面与四面体各面的交线.P即交线为GPDH 即交线为FH例例 几何体中的截面几何体中的截面问题（两平面的交（两平面的交线问题）back精品小小结：(1)空空间点、点、线、面的位置关系、面的位置关系(2)平面的基本性平面的基本性质（四个公理）（四个公理）(3)证明直明直线平行的常用方法平行的常用方法(4)点点线共面，三共面，三线共点，三点共共点，三点共线问题的的证明明精品精品