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20162017学年下学期高二期末考试 数学试卷（理科） 姓名 班 考试范围：导数定积分30% 统计与统计案例20% 计数原理概率随机变量及其分布20%推理证明算法复数20% 坐标系与参数方程10% 附加题 解析几何13分参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A, B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）若，为样本点，为回归方程，则， 其中， . ，其中n=a+b+c+d为样本容量一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，复数z =对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 在（x+2）4的展开式中，x2的系数为A. 24 B. 12 C. 6 D. 4 3. 已知函数f（x）=ln2x，则=A. B. C. D. 4. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为A. B. C. D. 5. 嘿哥有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种 6. 设a，b，c是正整数，且a70，80），b80，90），c90，100，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为A. 252或253 B. 253或254 C. 254或255 D. 267或268优秀不优秀总计甲班113445乙班83745总计1971907.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到22列联表，则随机变量的观测值为A. 0.600 B. 0.828 C. 2.712 D. 6.0048. A. -6 B. -1 C. 0 D. 19. 已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是 A. 1 B. 0.9 C. 0.8 D. 0.7 10圆的半径是1，圆心的极坐标是（1,0），则这个圆的极坐标方程是A. B. C. D.11曲线（为参数）与轴的交点坐标是A.（8,0），（-7,0） B.（-8,0），（-7,0） C.（8,0），（7,0） D.（-8,0），（7,0）12. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，其中，传输信息为，运算规则为：.例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数f（x）=cosx，则=_14. 设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3=_15. 研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：将f（2），f（3），f（5）按从小到大排列为_；函数g（x）=（x 0）的最大值为_16. 已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是_；（2）若pq0，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则m，n的值分别为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分） 在数列an中，a1=1，an=nan-1，n=2，3，4，（I）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明18（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3+3x2-9x（I）求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间-4，c上的最小值为-5，求c的取值范围19（本小题满分12分）甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立科目A科目B科目C甲（I）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X，求X的分布列和数学期望20（本小题满分12分）口袋中装有2个白球和n（n2，nN*）个红球每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值21（本小题满分12分）定义在D上的函数，若满足：，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（I）设，证明：在上是有界函数，并写出所有上界的值的集合；（II）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a附加题（本小题满分13分） 已知椭圆经过点，其离心率.（）求椭圆的方程；（）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由北京临川学校20162017学年下学期高二期末考试 数学试卷（理科） 1. A 2. A 3. D 4. B 5.C 6. B 7.A 8.C 9. B 10. C 11. B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. - 14. 27 15. f（5）f（2）f（3） 16. 255 8 13三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分） 在数列an中，a1=1，an=nan-1，n=2，3，4，（I）计算a2，a3，a4，a5的值；（）根据计算结果，猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明17.（本小题满分12分）解：（I）根据已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120， 4分（II）猜想an的通项公式为an=n!， 6分证明：当n=1时，由已知a1=1；由猜想a1=1!=1，猜想成立， 8分假设当n=k（kN*）时猜想成立，即ak=k ! 9分则n=k+1时，ak+1=（k+1）ak=（k+1）k!=（k+1）!，所以当n=k+1时，猜想也成立， 11分由和可知，an=n!对于任意nN*都成立 12分18（本小题满分12分）已知函数f（x）=x3+3x2-9x（I）求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间-4，c上的最小值为-5，求c的取值范围18. （本小题满分12分）解：（I）f（x）=x3+3x2-9x的定义域是R，且f （x）=3x2+6x-9 =3(x+3)（x-1） 2分令f （x）=0，得x1=-3，x2=1， 4分f（x）与f （x）在（-，+）上的情况如下：x（+,-3）-3（-3,1）1（1,+）f （x）+0-0+f（x）27-5所以f（x）的单调递增区间为（-，-3）和（1，+）；单调递减区间为（-3，1），.7分（II）由f（-4）=-64+48+36=20及（I）中结论可知：当c1时，函数f（x）在区间-4，c上的最小值为f（1）=1+3-9 =-5； 9分当-4c1时，函数f（x）在区间-4，c上的最小值大于-5，不合题意舍，11分因此，c的取值范围是1，+） 13分19（本小题满分12分）甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立科目A科目B科目C甲（I）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X，求X的分布列和数学期望19（本小题满分12分）解：（I）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M， 1分则P（）=（1-）（1-）（1-）=， 3分所以P（M）=1-P（）=， 5分（II）依题意X=0，1，2，3 6分P（X=0）=（1-）（1-）（1-）=；P（X=1）=（1-）（1-）+（1-）（1-）+（1-）（1-）=；P（X=3）=；P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）= 10分所以，随机变量X的分布列为：X0123P11分EX=0+1+2+3= 12分20（本小题满分12分）口袋中装有2个白球和n（n2，nN*）个红球每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖（I）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（III）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值20.（本小题满分12分）解：（I）设“1次摸球中奖”为事件A， 1分则P（A）=， 4分（II）由（I）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=， 5分所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）=，7分（III）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=Cp（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0p1）， 9分因为f（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），所以，当p（0，）时，f（p）单调递增；当p（，1）时，f（p）单调递减，所以，当p=时，f（p）取得最大值 11分令，解得n=2，n=1（舍去）所以，当f（p）取得最大值时，n的值为2 12分21（本小题满分12分）定义在D上的函数，若满足：，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（I）设，证明：在上是有界函数，并写出所有上界的值的集合；（II）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围21.（本小题满分12分）解：（I）证明：因为，所以在上是增函数. 所以. 即，所以，所以是有界函数4分所以，上界M满足M1，所有上界M的集合为.5分（II）解：因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以在上恒成立.所以，.6分令，则，所以在上恒成立，所以，在上恒成立，令，则在上是减函数，所以；8分令，则在上是增函数，所以，.10分所以，实数a的取值范围12分22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a22.（本小题满分10分）解：（I）（为参数）为以为圆心，为半径的圆，方程为，即为的极坐标方程（II），两边同乘得， 即：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，得：，即为，a0，附加题（本小题满分13分） 已知椭圆经过点，其离心率.（）求椭圆的方程；（）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由附加题（本小题满分13分） 2017顺义二模理 解：()依题意，得又，在中，所以所以椭圆的标准方程为 4分()设，则，因为点在椭圆上，所以即又，所以直线的方程为令，得又，为线段的中点，所以所以，因为，所以 13分12
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