线性控制系统教案2-信号与系统.ppt

线性控制系统Linear Control Systems,张国山 天津大学电气与自动化工程学院,第2章：信号与系统Chapter 2: Signals and Sytems,2.1 Introduction 信号的表示与分类(representation and classification) 信号强度的测量(strength measure) 信号的范数和性质(norms and properties) 信号空间(signal space),2.2 信号与范数Signals and their Norms,信号可以定义为向量空间的一个点(point)。 某性质P，定义 Sx: P S为满足性质P的信号x的集合。 信号的能量(energy content)：限制能量的信号集：,信号空间(signal spaces),一些基本概念： 测度为零的集合S(a subset S of measure zero) 可测函数(measurable function) “几乎处处”(almost everywhere) 勒贝格可测函数(Lebesgue measurable function) 勒贝格积分(Lebesgue integrals) 黎曼积分(Rieman integrals),L2与L空间,L2空间： 两个不同的信号空间： 与 赋范空间(normed space) 信号的平方可以理解成功率(power)，信号平方的积分可以理解成能量(energy)。,由内积诱导的范数(norms induced by inner products),内积 由内积诱导的范数 或 Cauchy-Schwarz 不等式(inequality):,信号的正交(orthogonal),信号的正交：两个信号的内积等于零： 与 (f is orthogonal to g.) 子空间的正交与直和：,频域信号Signals in the Frequency Domain,傅氏变换(Fourier transform): 2范数： L2空间的内积 时频域之间的关系： 和,哈代空间Hardy Spaces,G.H.Hardy 1877-1947 哈代空间是指在开右半平面解析和有界的函数集，即 H2 是哈代空间(H2 space):,时频域的同构(isomorphism),与 分别同构(isomorphic)于 与 (Paley-Wiener Theorem) 同构：元素一一对应 运算关系对应,L信号和有限能量信号L Signals and Bounded Power Signals,控制中广泛使用的信号：L2和L 设 是m维向量，则 ess sup=essential supremum 除了测度为0的集合以外的最大值(上确界),2.3 系统与范数Systems and their Norms,信号通过一个装置实现从输入到输出传递，因此可以看成从输入空间到输出空间的一个映射。 系统可以按不同方式分类： 因果的(causal)与非因果的(non-causal) 时变的(time-varying)与时不变的(time invariant) 线性的(linear)与非线性的(nonlinear),线性系统的特征,线性系统信号传输的时频关系为 (卷积 convolution integral) G(s)被称为系统的传递矩阵 2.3.1 传递矩阵的性质 (略),2.3.2 无穷范数和2范数-Norms and 2-Norms,L空间定义为 L范数的定义为 L范数与L2范数之关系 满足矩阵范数不等式,传递矩阵的H空间 H space of transfer matrices,H空间定义为 RL空间：没有极点在虚轴上的矩阵空间 RH空间：没有极点在闭右半平面的矩阵空间,系统的2-范数2-norm of a system,系统(矩阵传递函数)的2-范数： 矩阵2-范数是向量2-范数的更一般形式,2.4 H2范数的计算Computation of H2 Norm,设G(s)是稳定的，严格真的有理传递函数，且(A, B, C)为其一个实现，A稳定，则在零初始条件下，有 则传递函数及其拉氏逆变换为,帕斯瓦定理Parsevals Theorem,帕斯瓦定理 得2-范数,这里， 是能控性格拉姆矩阵(controllability gramian). 或P可以由Lyapunov方程解出 则可计算2-范数 同理可得,同理可得： Q为对称阵(observability gramian)且满足,2.5 H范数的计算Computation of H Norm,从H范数的定义 可以计算H范数，但过于复杂。 这里 表示矩阵G的最大奇异值(largest singular value) 考虑矩阵 的值“小(small)”，指其最大奇异值小，反之，考虑矩阵 的值“大(large)”，指其最小奇异值大。,一个算法A algorithm,设 且 取 或记 H称为哈密尔顿矩阵(Hamiltonian matrix). 则H矩阵在虚轴上没有特征值. 算法：取 ，计算H矩阵特征值，如果有虚轴上的特征值，则增大 ，否则，减小 .,2.6 H范数与有关的代数关系H Norm and Associated Algebraic Relationship,定理2.1 下面条件是等价的： (a) (b) 没有虚轴上的特征值. (c) (d),关于哈密尔顿矩阵On Hamiltonian matrix,涉及Riccati方程解及能稳性，内容较多，从略。,2.7 全通系统All Pass Systems,一些概念： 全通(all pass)系统，带通(band pass)系统，低通(low pass)系统，高通(high pass)系统. G称为全通的，如果 对于全通系统，可推得 如果S1与S2同维数，则,全通系统状态空间描述,定理2.2 设 是能检测的， 对称且满足Lyapunov方程 则下面各式成立： (a) 当且仅当A是稳定的； (b) 暗含 ； (c) ， 是能控的，且 暗含 。,2.8 伴随算子The Adjoint Operator,定义： 性质：,2.9 逆系统Inverse Systems,系统 的逆系统 如果两个系统表示为： 则,求逆系统,转换关系 变换 得逆系统,求两个系统乘积,乘积表示系统串联 使用关系 时 得乘积系统,总 结 Summary,理解信号的概念，信号的强度，信号与系统的关系； 熟悉L2与L空间，及H2与H，RH空间的含义； 掌握H2范数与H范数的计算方法； 会求系统的逆与乘积。,作业,教材P33：7，8，10,