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板块三专题突破核心考点,数列的综合问题,规范答题示例5,典例5(16分)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a1a，(an1)(an11)6(Snn)，nN*. (1)求数列an的通项公式； (2)若对任意的nN*，都有Snn(3n1)，求实数a的取值范围； (3)当a2时，将数列an中的部分项按原来的顺序构成数列bn，且b1a2，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列bn.,规 范 解 答分 步 得 分,(1)解当n1时，(a11)(a21)6(S11)，故a25； 当n2时，(an11)(an1)6(Sn1n1)， 所以(an1)(an11)(an11)(an1)6(Snn)6(Sn1n1)， 即(an1)(an1an1)6(an1). 又an0，所以an1an16， 3分 所以a2k1a6(k1)6ka6，a2k56(k1)6k1，kN*， 故数列an的通项公式为an 5分,(2)解当n为奇数时，n1为偶数，所以an3na3，an13n2，,当n为偶数时，n1为奇数，an3n1，an13na，,由Snn(3n1)得，a3(n1)对nN*恒成立，所以a9. 又a1a0，所以实数a的取值范围是(0,4. 10分,(3)解当a2时，若n为奇数，则an3n1，所以an3n1(nN*). 因为数列bn的首项是b15，其整数倍的最小项是a720， 故可令等比数列bn的公比q4m(mN*)， 因为b1a25，所以bn54m(n1).,所以4k3(14424k1)1， 所以54k53(14424k1)1 35(14424k1)21. 14分 因为5(14424k1)2为正整数， 所以数列bn是数列an中包含的无穷等比数列. 又公比q4m(mN*)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列bn有无数个. 16分,构 建 答 题 模 板,第一步 找关系，求通项：根据已知条件确定数列的项之间的关系. 第二步 巧转化，定方法：根据要证式子或所求结论的结构，进行适当转化，如对数列求和，将数列函数化讨论数列的性质等确定解题方法. 第三步 写步骤，再反思：确定解题方案后要认真规范书写解题步骤，数列综合问题一般为压轴题，难度较大，要有抢分意识，不放过任何一个得分点.,评分细则(1)求出an的递推公式给3分； (2)求出an的通项公式给2分； (3)讨论n为奇数的情况给3分； (4)讨论n为偶数的情况给2分； (5)求出bn的通项公式给4分； (6)证明出最后结果给2分.,证明,跟踪演练5(2018南通、徐州等六市调研)设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1,b2，b3，b4的公差为d，且q1，d0.记ciaibi (i1,2,3,4). (1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；,证明假设数列c1，c2，c3是等差数列， 则2c2c1c3， 即2(a2b2)(a1b1)(a3b3). 因为b1，b2，b3是等差数列， 所以2b2b1b3.从而2a2a1a3.,所以a1a2a3，这与q1矛盾，从而假设不成立. 所以数列c1，c2，c3不是等差数列.,(2)设a11，q2.若数列c1, c2, c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；,解因为a11, q2， 所以an2n1.,所以(2b2)2(1b2d) (4b2d)， 即b2d23d, 由c22b20，得d23d20， 所以d1且d2. 又d0，所以b2d23d，定义域为 dR|d1，d2，d0.,解答,(3)数列c1, c2, c3，c4能否为等比数列？并说明理由.,解答,解设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，,则将2得，a1(q1)2c1(q11)2， 将2得，a1q(q1)2c1q1(q11)2， 因为a10, q1，由得c10, q11. 由得qq1，从而a1c1. 代入得b10.再代入，得d0，与d0矛盾. 所以c1，c2，c3，c4不成等比数列.,
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