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第十二章,格林函数,12.1,泊松方程的格林函数法,有源问题,定解通解边界条件,求通解积分,定解积分边界条件 （格林函数法）,1. 源问题,例 静电场,处静电场,a.无界空间,b.有界空间,边界上可能出现感应电荷,处静电场是源电荷与感应电荷 的电势之和。,感应电荷是源电荷的结果。,计算变成,由,计算感应电荷，然后,是否能一次解决,定解通解边界条件,求通解积分,定解积分边界条件 （格林函数法）,2. 格林公式,第一格林公式：,区域 T，边界,T,设 和 在 T 中具有连续二阶导数， 在 上有连续一阶导数。由高斯定理,感应电荷 是边界问题,第二格林公式：,交换 和 ：,与上式相减,即,法向导数,3. 边值问题,泊松方程,边界条件,定义在,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题),泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题),泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题,4. 泊松方程的基本积分公式,点源泊松方程,单位负电荷在,奇异，不能化为,面积分。在 T 中挖掉半 径 ，在 的小球 。 小球边界 。,边界条件无法带入积分之中！,在 ， 。,和,连续。,这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。,解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的 积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。,格林函数：,将冲量定理法扩展到空间坐标,对两端固定的弦,问题变成,5. 边值问题的格林函数,还需知道点源泊松方程度解的边界条件。,第一边值问题(狄里希利问题),第三边值问题,第一边值问 题格林函数,第三边值问 题格林函数,在,，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，,具有同一个解，可作变换：,12.2,电像法求格林函数,第一边值问 题格林函数,导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。,将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示,如右图，当导体外 M1 处有电荷 时，镜像电荷 将在球内M0 处。,现在，问题反过来，在 r0 处有电荷 -0 ，求r1，和镜像电荷。,例1,球内第一边值问题,在球面上,例2,半空间第一边值问题,解,按电磁学思维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。,计算格林函数：,镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。,法线方向与z轴方向相反,
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