资源描述
1,第三章 多维随机变量,在实际工作中, 常常需要同时用两个或更多的随机变量来描述所处理的问题。,例如, 为描述一个人的身材特征, 最起码要用身高 H 和体重 W 来描述。,假设 = 电子科大全体男生, 任选 1 名男生 , 相应的身高和体重是 H() 与W() , 即一个样本点 对应着两个变量, (H, W) 是定义在上的二维随机变量。,2,第一节 二维随机变量及其分布,在引入多维随机变量的定义之后, 我们主要讨论二维随机变量, 相对于一维随机变量, 它们没有本质区别。,定义1. 对样本空间的每一个样本点, 有n个实数 X1(), X2(), , Xn() 与之对应, 称由它们构成的有序数组 (X1, X2, , Xn) 为 n 维随机变量。,3,下面着重讨论二维随机变量:,设 ( X, Y ) 是定义在样本空间上的二维随机变量, 分别单独看X 和Y , 它们都是上的一维随机变量, 将它们的分布函数分别记为,FX(x) = P Xx 和 FY (y) = P Yy ,FX(x) 和 FY (y) 是两个一元函数, 二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数则是一个二元函数。,4,1. 二维随机变量的联合分布函数,定义2. 设 ( X, Y ) 是二维随机变量, (x, y) 是任意的实数对, 记 Xx, Yy 为 Xx 与 Yy 的积事件, 则称二元函 数 F(x, y) = P Xx, Yy 是 ( X, Y ) 的联合分布函数。,一维随机变量 X、Y 的分布函数FX(x) 与 FY(y)称为( X, Y ) 的边缘分布函数。,5,联合分布函数与边缘分布函数的关系,由于,可以得到, Xx = Xx, Y , Yy = X, Yy ,6,将 ( X, Y ) 看成二维平面上的一个随机点, 则有,随机点 (X, Y ) 落入该区域的概率 就是联合分布函数,7,联合分布函数的基本性质,(1) F(x, y) 分别单独对x 或 y为单调不减;,(2) F(x, y) 分别关于x 或 y为右连续;,8,(3) 0F(x, y)1, 并且有,F(, ) = 1,F(x, ) = 0,F(, y) = 0,F(, ) = 0,9,(4) 对任意的实数 x1x2, y1y2, 有 F(x2, y2)F(x1, y2)F(x2, y1) + F(x1, y1)0,实际上, 上式,是随机点( X, Y ) 落入下面,区域内的概率。,x1 x2,y2 y1,10,如果有二元函数 F( x, y ) 满足上述四个性质, 则它是某个二维随机变量的联合分布函数。,从联合分布函数 F( x, y ) 的性质, 有,由联合分布函数 F( x, y ) 可以确定边缘分布函数 FX( x ) 和 FY( y ) 。,但是, 仅仅由边缘分布不能确定联合分布。,11,对于 n 维随机变量的联合分布函数, 也有类似的定义和性质。 （教材 P. 88）,二维随机变量也有离散型和连续型两种常见的类型。,12,2. 二维离散型随机变量及联合分布律,定义3. 如果二维随机变量 ( X, Y ) 的所有可能取值为有限对或可列无穷对, 则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量。,记 ( X, Y ) 的可能取值为 ( xi , yj ) , 并且,P X = xi , Y = yj = pij , i, j = 1, 2, ,称上式为 ( X, Y ) 的联合分布律。,13,二维离散型随机变量的基本性质,(1) pij0, i, j = 1,2,(2),(3) 联合分布函数 F( x, y ) =,14,联合分布律与边缘分布律的关系,联合分布律可以确定边缘分布律, 有如下公式:,15,用表格表示联合分布律和边缘分布律,16,仅仅只有边缘分布不能确定联合分布,教材 P. 8889, 例 3.1.3 和例 3.1.4 给出了反例: 从两个不同的联合分布, 得到了完全相同的边缘分布。,原因是:,多维随机变量的联合分布不仅仅与各分量的分布有关, 还与各分量之间的关系有关。,17,3. 二维连续型随机变量及联合概率密度,定义4. 设 F( x, y ) 是二维随机变量,( X, Y ) 的分布函数, 如果存在非负函数,f ( x, y ), 使得对任意的实数对( x, y ) ,都有 F( x, y ) =,则称 ( X, Y ) 是二维连续型随机变量, 函数 f ( x, y ) 称为 ( X, Y ) 的联合概率密度。,18,联合概率密度的基本性质,(1) f ( x, y )0;,(2),这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,还可以利用 它们确定概率密度 中的待定常数,19,(3) 对二维平面上的区域 G, 有,注: 性质(3) 常用于计算一些事件的概率,P (X, Y)G =,例如,P XY =,Pa1 Xa2, b1Y b2 =,20,(4) 在 f ( x, y ) 的连续点处, 有,不难发现, 二维联合概率密度的上述基本性质, 在形式上与一维概率密度函数是相似的。,21,联合概率密度与边缘概率密度的关系,多维连续型随机变量的边缘分布仍然是连续型随机变量, 相应的概率密度称为边缘概率密度。,有如下重要计算公式：,22,4. 二维均匀分布与几何概型,设 G是二维平面的一个有界区域, 其面积为 s , 二维随机变量 ( X, Y ) 取值于区域 G内, 并且取区域内每一点是等可能的, 则( X, Y )的联合概率密度应为,由于,23,C =,因此, 如果二维随机变量( X, Y ) 的联合概率密度函数为,称 ( X, Y ) 在区域 G 上均匀分布。,24,设 ( X, Y ) 在区域 G 上均匀分布, D 是 其中一个任意的子区域, 则 ( X, Y ) 落入子区域 D 的概率为,该概率值与区域 D 的形状、位置等均无关, 只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D 的形状、位置等均无关, 只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D 的形状、位置等均无关, 只与 D的面积有关。,该概率值与区域 D 的形状、位置等均无关, 只与 D的面积有关。,25,回忆在第二章的 “一维均匀分布” 中,随机点落入子区间的概率只与子区间的长度有关, 像这种借助于几何度量指标（长度, 面积, 体积等）计算概率, 可建立所谓的 “几何概型” 。,26,在几何概型中, 任意事件 A 的概率为,几何概型的基本特点是: 基本事件等可能, 总个数无限, 基本事件的总和（）及其任意部分（事件A）都可以用同一个几何指标 () 及 (A) 描述。,27,例1. 有两个人相约中午12 点在某地会面, 他们约定先到者等候 15 分钟, 并且最多等到 2 点钟, 求此二人能见面的概率。,分析:,此二人到达时刻在12点之间,并且可以认为在这个范围内的任一时刻是等可能的。,因此, 可应用几何概型求解此问题。,28,解. 设两人的到达时刻分别是 x 和 y, 样本空间是如图所示正方形上的所有点;,o,x,y,1,1,2,2,二人能见面包含的是正方形内满足 | xy |1/4的所有点。,如图所示:,xy =1/4,yx =1/4,29,于是, 二人能见面的概率 p 为上图所示的两个区域面积之比:,注: 本题也可以利用服从均匀分布的随机变量来求解。设两人的到达时刻分别是 X 和 Y, 则 (X, Y ) 均匀分布于上图中的正方形, 所求概率为 P | XY |1/4 。,30,例1 求解的问题就是概率论中有名的 “约会等待” 问题, 这个模型有很广泛的实际背景。如: 相邻的两个信号互相干扰的概率; 只有一个 “服务台” 的服务系统, 因正在为前一个 “顾客” 服务而不能接待下 一位 “顾客” 的概率; 这里的 “顾客” 和 “服务台” 都可以是很广义的概念, 如轮船和停靠码头, 入侵敌机和防御炮火, 等等。,31,5. 二维正态分布,如果二维随机变量 ( X, Y ) 具有如下的联合概率密度,这里 , ; 而其中的 均为常数,32,则称二维随机变量 ( X, Y ) 服从参数为,(1, 12; 2, 22; ) 的二维正态分布, 记为,( X, Y ) N (1, 12; 2, 22; ),二维正态分布是最重要的二维连续型分布之一。,33,二维正态分布的一个重要性质,设随机变量 ( X, Y ) 服从二维正态分布,N (1, 12; 2, 22; ) , 则有,X N (1, 12) ; Y N (2, 22),即: 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。,
展开阅读全文