概率论与数理统计 第五章.ppt

第五章 参数估计,1,第五章 参数估计,参数估计是统计推断的基本内容之一。,参数估计就是由样本对总体的未知参数作出估计。,参数估计一般有两种方式：点估计和区间估计。,第五章 参数估计,2,第五章 参数估计,第一节点估计,第二节极大似然估计,第三节矩估计法,第四节正态总体参数的区间估计,第五节比率的区间估计,第五章 参数估计,3,第一节 点估计,一、点估计的概念,设总体的分布类型已知，但分布函数中的 参数未知。,为待估的未知参数。,第五章 参数估计,4,二、估计量的评价标准,1.无偏性,第五章 参数估计,5,证,第五章 参数估计,6,第五章 参数估计,7,定义5.2,2.有效性,有效性指的是在同是 的无偏估计量的前提下, 希望估计值与真值的偏离程度越小越好。,第五章 参数估计,8,例2,第五章 参数估计,9,即当 时，,第五章 参数估计,10,(1)并非每个参数都有无偏估计量;,(2)无偏估计量不一定是有效估计量;,注意,例如，样本方差 是总体方差 的无偏估计量， 但样本标准差 却不是总体标准差 的无偏估计量。,第五章 参数估计,11,例1,一、极大似然估计法的基本思想,第二节 极大似然估计,第五章 参数估计,12,分析：,第五章 参数估计,13,极大似然估计法的基本思想是：,设总体X的概率分布形式已知，但其中含有未知 参数 而 有多个可能取值。在 的一切可能取值 中，选出一个使样本观察结果出现概率最大的值作为 的估计值，记为 并称 为 的极大似然估计.,已经发生的一个随机事件,第五章 参数估计,14,二、几个定义,第五章 参数估计,15,2、若总体,为离散型随机变量，则似然函数为,第五章 参数估计,16,似 然 方 程 组,多元函数求极值的方法,、极大似然估计值必然满足方程组:,第五章 参数估计,17,对数似然 方程组,第五章 参数估计,18,三、极大似然估计法的具体步骤,（1）建立似然函数,（2）求出,（3）建立并求解对数似然方程组,（4）求出极大似然估计,注：个别题目不需第二、三步。,第五章 参数估计,19,例 已知总体服从参数为的泊松分布，概率函数为,解似然函数为,第五章 参数估计,20,两边取对数,对数似然方程为,解得,注意：泊松分布的期望是。结果具有无偏性！,第五章 参数估计,21,解,第五章 参数估计,22,似然函数为,对数似然方程组为,显然无解,第五章 参数估计,23,得极大似然估计量为,未知参数的估计量可以是次序统计量,第五章 参数估计,24,例已知总体 未知，(0.75, 0.80, 0.65, 0.70, 0.85)是来自这个 总体的容量为5的样本观测值，用极大似然估计法估计概率,解似然函数为,第五章 参数估计,25,两边取对数,建立对数似然方程组,第五章 参数估计,26,即,第五章 参数估计,27,第五章 参数估计,28,注意：,具有无偏性；,第五章 参数估计,29,在参数的点估计中用样本构造一个估计量 用 去估计 ，这仅仅是解决了一个求未知参数 的一个 “近似值”的问题，而没有解决“近似值”的精确程度问题，即没有给出这个近似值的误差范围和估计的可信程度。,在参数的区间估计中则要用样本去给出未知参数 的一个大致的范围，并使未知参数 在其中有指定的概率。,下面给出参数的区间估计。,第五章 参数估计,30,第四节 正态总体参数的区间估计,定义5.5,一、基本概念,第五章 参数估计,31,注意：,（2）当样本容量一定时，置信水平越大，置信区间的长度就会越大。我们的原则是：在给定的置信水平下，尽量使置信区间的平均长度较短。,第五章 参数估计,32,二、一个正态总体的情况,第五章 参数估计,33,分布,t分布,F分布,其中 ，且 相互独立,其中 ，且X与Y相互独立,其中 ，且X与Y相互独立,第五章 参数估计,34,标准正态分布的 水平上侧临界值,分布的 水平上侧临界值,第五章 参数估计,35,t分布的 水平双侧临界值,F分布的 水平上侧临界值,第五章 参数估计,36,U统计量,形式,名称,一个正态总体下的几个重要统计量及其分布,第五章 参数估计,37,二、一个正态总体的情况,考虑U统计量,第五章 参数估计,38,U的 水平上侧临界值：,U的 水平上侧临界值：,第五章 参数估计,39,因此，总体均值 的 置信区间为,第五章 参数估计,40,例1,第五章 参数估计,41,EX 的0.95置信区间为,第五章 参数估计,42,考虑T统计量,T 的 水平双侧临界值：,第五章 参数估计,43,第五章 参数估计,44,例2,某单位生产的滚轴，其直径,现从一批产品中随机抽取9个，测量它们的直径。,(单位：mm),测得样本均值为30，样本方差为，,求置信水平为95%的的置信区间。,置信区间为,第五章 参数估计,45,考虑 统计量,对于给定的 ，确定 ，使得,第五章 参数估计,46,第五章 参数估计,47,例3,第五章 参数估计,48,思考：,在给定的置信水平下，怎么样能使置信区间的平均长度较短？,可以看出，只需使样本容量n尽量地大。,第五章 参数估计,49,一个正态总体参数的置信区间,第五章 参数估计,50,本章总结,本章介绍了参数估计的两种方法：点估计和区间估计。 点估计给出了评价估计量的两条标准：无偏性和有效性。 点估计有两种方法：极大似然估计法和矩估计法。要求掌握极大似然估计法。 区间估计给出了三种置信区间。要求记住三个置信区间的公式。,