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,26.1二次函数,1. 函数的定义： （在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有一个唯一确定的x值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是函数） 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗? （ 正比例函数，一次函数，反比例函数）,知识回顾,1.一元二次方程的一般形式是什么？,2。一次函数、正比例函数的定义是什么？,二次函数,函数知多少,节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？,抛物线型桥拱,奥运赛场腾空的篮球,二次函数,第26章,26.1 二次函数(1),二次函数,二次函数的基本概念,探索新知,1.函数y=x+1 ，自变量是_,自变量的次数是_,y是x的_函数.,2.函数s=-2t-4 ，自变量是_,自变量的次数是_,s是t的_函数.,你能写出下列函数的表达式吗？ 1.圆的半径是r(cm)时,面积s(cm2)与半径之间的关系_ ,自变量是_,它的最高次数是_.,2.正方形的边长为a,如果边长增加2,新图形的面积s与a之间的函数关系式为_ 自变量是_,它的最高次数是_.,x,1,一次,一次,t,1,S=r2,S=(a+2)2,2,2,r,a,正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y,则 y 关于x 的关系式为.,问题1:,y=6x2,此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.,此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.,多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？,n边形有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作条对角线.因此,n边形的对角线总数 d =.,n,(n3),问题2:,即:,某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?,问题3:,这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为: .,y=20(1+x)2,20(1+x)2,20(1+x),y=20 x2+40 x+20,此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.,即:,二次函数的定义,y=6x2,y=20 x2+40 x+20,观察下列函数有什么共同点:,一般地,形如,的函数,叫做二次函数. 其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,y=ax2+bx+c,函数都是用自变量 的二次式表示的.,(a,b,c都是常数,且a0),我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数,知识归纳,为什么a 0呢?,称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,二次函数解析式特征,一般地,形如,的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的,(3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项， 但 .,注意:,(2) a,b,c为常数，且,(4) 自变量x的取值范围是,整式,a0.,2,任意实数,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),不能没有二次项,二次函数的定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。,注意：,（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。另外，自变量与函数不仅仅局限于用x,y表示。,（2）a,b,c为常数，且a 0,（3）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。,（4）自变量x的取值范围是一切实数，但在实际问题中自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。,例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1)y=x+ (2)v= r (3)y= x (4)s=32t,例题与练习,(6) y=x+x+25,(7)y=2+2x,(是),(否),(是),(否),(否),(是),(否),(否),(9)y=mx+nx+p (m,n,p为常数）,(否),(5)y=x-2+x,(否),(8) y,(否),先化简后判断,(10) y=3(x1)-3,(11)y=(x+3)x,1.下列函数中,哪些是二次函数?,抓住机遇 展示自我,是,不是,是,不是,先化简后判断,1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项,（1） y=-x2+58x-112,（2）y=x2,2、指出下列函数y=ax+bx+c中的a、b、c,（1） y=-3x2-x-1,（3） y=x(1+x),（2） y=5x2-6,看谁反应快,例题讲解,例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x1)+1 (2) y=x+ (3) s=32t (4) y=(x+3)x (5)y= x (6) v=8 r,解:,y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即,y=3x2-6x+4,是二次函数.,二次项系数:,一次项系数:,常数项:,3,-6,4,不是二次函数.,(3) s=3-2t是二次函数.,二次项系数:,一次项系数:,常数项:,-2,0,3,(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2 即,y=6x+9,不是二次函数.,二次项系数:,一次项系数:,常数项:,8,0,0,不是二次函数.,(6) v=8 r,是二次函数.,二次函数的一般形式:,二次函数的特殊形式： 当b0时， yax2c 当c0时， yax2bx 当b0，c0时， yax2,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),1.若y=(a2-1)x2是二次函数则, a的取值范围是_,能力提高,a1,2. 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.,如果它是二次函数,则m+1应该 _ 0 m2-m=_,所以m=_,2,2,注意:二次函数的二次项系数不能为零,做一做,（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c y=2x23x+1 ； y=x42x21； y=3x(2-x)3x2； 3y=x(x-1) . 解答： 是二次函数， a、b、c分别为2，3，1; 、都不是二次函数; 是二次函数，a、b、c分别为1/3,-1/3,0. （2）已知函数 y=（m2-9)x2-(m-3)x2，当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？ 解答：若这个函数是二次函数，则m2-90 m3; 若这个函数是一次函数，则m2-9=0，且m-30 m=-3.,（3）圆柱的体积V的计算公式是 ，其中 r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高. 当h 是常量时，V是r 的什么函数？ 二次函数 当r 是常量时，V是h 的什么函数？ 一次函数,(1)m取什么值时,此函数是二次函数? (2)m取什么值时,此函数是正比例函数? (3)m取什么值时,此函数是反比例函数?,比一比，看谁算得快！,思考：2. 二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系和区别？,驶向胜利的彼岸,你知道吗,联系(1)等式一边都是ax2bxc且 a 0(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y= ax2bxc中y=0时得到的.,区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0,驶向胜利的彼岸,知识运用,m22m-1=2 m+1 0 m=3,例2:m取何值时 函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？,解:由题意得,例1: 关于x的函数 是二次函数, 求m的值.,解: 由题意可得,注意:二次函数的二次项系数不能为零,例题与练习,例2. y=(m+3)x,m27,m取什么值时,此函数是二次函数?,看谁算得快!,1.函数 是二次函数， 求m的值。,2,当m为何值时，函数 y(m2)xm224x5是x的二次函数,练习：y(m3)xm2m4(m2)x3， 当m为何值时，y是x的二次函数？,一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。,xm,y m2,xm,（40-2x ）m,解：,由题意得：,Y=x(40-2x),即：Y=-2x2+40 x,(0x20),当x12m时，菜园的面积为：,Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2）,生活问题数学化,例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系,（2）由题意得 其中y是x的二次函数；,（3）由题意得 其中S是x的 二次函数,解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；,练习: 1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式,是函数关系吗？是哪种函数？ 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.,3.函数 y=(mn)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m0 (B) m,n是常数,且n0 (C) m,n是常数,且mn (D) m,n为任何实数,你认为今天这节课最需要掌握的是 _ 。,驶向胜利的彼岸,小结,回味无穷,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润,、二次函数 当x=0时，y=-2； 当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。,课后巩固,如果函数y= +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_,如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_,0,0或3,如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次 函数,则k的值一定是_,3或1或2,拓展与提高,牛刀小试,例5.已知二次函数,当x=1时,函数y有最小值为4,x取任意实数,（1）你能说出此函数的最小值吗？,（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？,开动脑筋,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.,其中自变量x能取哪些值呢？,问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？,例题与练习,例4.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量?,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?,(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之 间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(6005x)个橙子,y=(100+x)(6005x)=5x+100 x+60000,
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