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导数的应用 微分学中值定理 在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下： 设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(ab)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到， 差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此 成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使 成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下： 若在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。 注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果函数，在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。 例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明：不难发现方程左端是函数的导数： 函数在0，1上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即 也就是：方程在0与1之间至少有一个实根未定式问题 问题：什么样的式子称作未定式呢？ 答案：对于函数,来说，当xa(或x)时，函数,都趋于零或无穷大 则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型 我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用商的极限等于极限的商这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 下面我们来学习罗彼塔(LHospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。罗彼塔(LHospital)法则 当xa(或x)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当xN)时，与都存在，0，且存在 则：= 这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(LHospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。 例题：求 解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。 例题：求 解答：此题为未定式中的型求解问题，利用罗彼塔法则来求解 另外，若遇到 、 、 、 等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。 例题：求 解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为型，故可先将其转化为型后在求解， 注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。函数单调性的判定法 函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？ 我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法： 设函数在a,b上连续，在(a,b)内可导. a)：如果在(a,b)内0，那末函数在a,b上单调增加； b)：如果在(a,b)内0，那末函数在a,b上单调减少. 例题：确定函数的增减区间. 解答：容易确定此函数的定义域为(,) 其导数为：，因此可以判出： 当x0时，0，故它的单调增区间为(0,)； 当x0时，0，故它的单调减区间为(-,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。函数的极值及其求法 在学习函数的极值之前，我们先来看一例子： 设有函数，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)，均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？ 事实上，这就是我们将要学习的内容函数的极值，函数极值的定义 设函数在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点. 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，均成立， 则说是函数的一个极大值； 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，均成立， 则说是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念驻点 凡是使的x点，称为函数的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下方法一： 设函数在x0点的邻域可导，且. 情况一：若当x取x0左侧邻近值时，0，当x取x0右侧邻近值时，0， 则函数在x0点取极大值。 情况一：若当x取x0左侧邻近值时，0，当x取x0右侧邻近值时，0， 则函数在x0点取极小值。 注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求； b)：求的全部的解驻点； c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。 例题：求极值点 解答：先求导数 再求出驻点：当时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示 方法二： 设函数在x0点具有二阶导数，且时. 则：a)：当0，函数在x0点取极大值； b)：当0，函数在x0点取极小值； c)：当=0，其情形不一定，可由方法一来判定. 例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。 解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。 ，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； 0，故此点为极大值点； 0，故此点为极小值点。函数的最大值、最小值及其应用 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使产品最多、用料最省、成本最低等。 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。 怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求在a,b上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点的值，从中取得最大值、最小值即为所求。 例题：求函数，在区间-3，3/2的最大值、最小值。 解答：在此区间处处可导， 先来求函数的极值，故x=1， 再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。 因为， 故函数的最大值为，函数的最小值为。 例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？ 解答：由题意可知：为一常数， 面积 故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。 故：时，用料最省。曲线的凹向与拐点 通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。定义： 对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。曲线凹向的判定定理 定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。 定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末： 若在(a,b)内，0，则在a,b对应的曲线是下凹的； 若在(a,b)内，0，则在a,b对应的曲线是上凹的； 例题：判断函数的凹向 解答：我们根据定理二来判定。 因为，所以在函数的定义域(0,+)内，0， 故函数所对应的曲线时下凹的。拐点的定义 连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。拐定的判定方法 如果在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定的拐点。 (1)：求； (2)：令=0，解出此方程在区间(a,b)内实根； (3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。 例题：求曲线的拐点。 解答：由， 令=0，得x=0，2/3 判断在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。- 9 -
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