三角形解题技巧及例题

三角形解题口诀及例题角平分线四连线，边垂折叠全等现.垂线要把三线连，平行等腰来构建.垂直平分若出现，线上一点两相连.六十三十四十五，等边直角作三角.要证线段倍与半，延长缩短与直角.两线之和等一线，截长补短试试看.线段和差比大小，三角形中来相见.三角形中有中线，延长中线等中线.中点若与中点见，两点相连中位线边垂作全等1在ABC中，AD是ABC的角平分线，所示，E、F分别是AB、AC上的点，且EDF+BAC180，求证：DEDF证明：作DMAB于点M，作DNAC于点N，如右图所示，则EMDFND90，AD平分BAC，DMDN，EDF+BAC180，AED+AFD180，又DFN+AFD180，DEMDFN，在EMD和FND中，EMDFND（AAS），DEDF2 在ABC中，AD为ABC的角平分线如图，C90，如果C2B，求证：ABAC+CD折叠作全等 解：在AB上截取AEAC，连接DE，AD为ABC的角平分线，CADEAD，在在AED和ACD中AEDACD（SAS），CAED，CDED，C2B，AED2B，AEDB+EDB，BEDB，EDEB，EBCD，ABAE+EB，ABAC+CD3如图，点O是ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F求证：OEOF；证明：MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，角平分线与平行于角一边的线构造等腰三角形25，46，MNBC，15，36，12，34，EOCO，FOCO，OEOF；4如图，在ABC中，BCAC，ACB90，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于点E，且AEBD，求证：BD是ABC的角平分线垂直于角平分线，构造三线合一证明：延长AE、BC交于点FAEBE，BEF90，又ACFACB90，DBC+AFCFAC+AFC90，DBCFAC，在ACF和BCD中，ACFBCD（ASA），AFBD又AEBD，AEAFEF，即点E是AF的中点BEAFDE是AF的垂直平分线ABBF，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD是ABC的角平分线5如图，在ABC中，C90，A30，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E求证：AE2CE；有中垂线即向两端连线证明：连接BEDE是AB的垂直平分线，AEBE，ABEA30，C90，ABC903060，CBEABCABE30，在RtBCE中，BE2CE，AE2CE；6如图，已知在菱形ABCD中，ABC60，对角线AC8，求菱形ABCD的周长和面积60角找等边三角形解：四边形ABCD是菱形，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，ABAC8菱形ABCD的周长4832，BO4，BD2BO8，菱形ABCD的面积8327如图，ABC中，B45，C60，AC10，求边AB的长60角找直角三角形，45角构造直角解：作ADBC于点D，在RtADC中，C60，CAD30，CDAC5，AD5，在RtADB中，B45，BDAD5，由勾股定理得，AB530角找直角三角形8如图，四边形ABCD中，AD4，BC1，A30，B90，ADC120，求CD的长解：延长AD、BC交于E，A30，B90，E60，ADC120，EDC60，EDC是等边三角形，设CDCEDEx，AD4，BC1，2（1+x）x+4，解得；x2，CD29如图，ABC中，ABAC2，B15，求等腰ABC腰上高的值15角构造30找直角三角形解：作BDAC交CA的延长线于D，ABAC，B15，CB15，DABC+B30，BDAB110已知，如图，C90，B30，AD是ABC的角平分线求证：BD2CD；线段倍与半构造直角三角形解：如图，过D作DEAB于E，C90，AD是ABC的角平分线，DECD，又B30，RtBDE中，DEBD，BD2DE2CD；11已知：如图，AD、AE分别是ABC和ABD的中线，且BABD，求证：AEAC证明：延长AE至F，使EFAE，连接DFAE是ABD的中线，线段倍与半延长缩短BEDEAEBFED，ABEFDE（SAS）BBDF，ABDFBABD，BADBDA，BDDFADFBDA+BDF，ADCBAD+B，ADFADCAD是ABC的中线，BDCDDFCDADFADC（SAS）ACAF2AE，即AEAC12如图，在ABC中，ABBC，BD是高，P是BD上任意一点，求证：PAPCADCD证明：在AD上取一点E，使得DECD，线段和差比大小，构造三角形ADCDADDEAE，BDAC，PDCE，DECD，PEPC，PAPEAE，故PAPCADCD13如图，DCAB，BAD和ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC，AB于CB两点求证：ADAB+DC两线之和等一线，截长补短证明：在AD上截取AFAB，连接EF，如图所示：在ABE和AFE中，ABEAFE（SAS），AFEB，ABDC，B+C180，AFE+DFE180，DFEC，在DEF和DEC中，DEFDEC（AAS），DFDC，AB+DCAF+DFAD，即ADAB+DC14已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE求证：ABCD中线倍长证明：延长DE到F，使EFDE，连接BF，E是BC的中点，BECE，在BEF和CED中，BEFCEDFCDE，BFCDBAECDE，BAEFABBF，又BFCD，ABCD15如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CFBC试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由中位线解：DECF，理由如下：点D，E分别是AB，AC的中点，DEBC，CFBC，DECF