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数学问题解决过程的分析与评价(课堂讨论)讨论课:分析下列解题过程中的错误,并改正。(1)P339题目:求的值,其中解: (2)题目:设数列an的前n项和sn与an的关系式是sn=kan+1,(其中k是与n无关的实数,且),求an的表达式。解: 即 (3)题目:已知,求的取值范围。解:由已知条件可知所以因为,所以(4)题目:求函数的最小值。解:因为,所以,所以,故的最小值为2。(5)题目:求函数的最小值。解:因为,当且仅当时等号成立。从中解得,代入上式得,所以y的最小值为。(6) 题:求集合 的交集.。解:由 易见无实数解,故得.(7)、题:设,在复数集中解方程。解:设,则有所以由,有 故 ,所以由,有,故 ,所以由,有(8)题:证明有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.ABDCABDC 已知:如图,在中 , 求证:证明:在Rt中,.于是有 又 , .。(9)题:用数学归纳法证明不等式对一切自然数都成立。 证明:i 当时,有命题成立. ii 假设时,有 所以 即当时,命题成立. 综合i,ii可得,原命题对一切自然数成立.(10)题:一直线通过(2,1)且和直线相交成45的角,求此直线方程。解:因直线的斜率,由题意,所求直线与它相交成交角,设所求直线的斜率为,则由得故所求直线方程为,即(11)题:如图,设半径分别为的两圆外切于T,一条公切线分别切两圆于A、B,求证 证明:过A、B分别作圆的直径AC,BD,连AT、BT、CT、DT, T则因有CD所以.所以即(12)题:设。 解:由 解得 ,代入函数表达式得(13)、题:已知关于的方程,.有实根,求的取值范围。解:由,得 (14)题:解不等式 解:移项得不等式的解为(15)题:已知求证。 证明:据等差中项与等比中项的关系有 。 。分析(1)将实数运算法则无根据照搬到复数范围,导致错误。实际上,因为所以原式(2)混淆了通项公式与逆推公式,还应继续解下去。因为,所以又因为,即,所以。故 (3)忽视了隐含条件。此时。由此可得。(4)因为不可能成立,所以在运用基本不等式时,不能取到等号,故不可能等于2。此题可用求导数法,易求得的最小值为。(5)因为根号下的乘积不为定值,所以结果不正确。此题可用求导数法、易求得y的最小值为。(6)正解:由 有 故得 (7)正解:设,则有,若,则(1)化为 (3)当时,;当时,当时,;所以原方程的实数解为:当时,;当时, 若,则(1)化为(4)当时,当时,。所以原方程的纯虚数解为: 当时,;当时,; 当时,无纯虚数根。(8)解:原题结论出错,满足条件的两三角形不一定全等,可举出反例(略),而证明中“如图”已假定了结论成立,事实上满足条件的三角形不一定同为锐角三角形(或同为钝角三角形)。 正解:修改原题增加条件。例如有两边和其中一边上的高对应相等的两锐角(或钝角)三角形全等。(9).解:时没有验证。 补证:时,结论成立.(10)解:与已知直线相交成45角的直线有两条。 正解:由,解得所以,所求直线为 .(11)解:、共线需要证明. 补证:过作公切线交则所以,,又,所以,共线,共线。(12)解:因互相制约,当取最大值时,不一定也取最大值.正解:由 代入(13)、解:忽视了方程为一次方程的情形。正解:接原解法,补充当原方程有实根,所以的取值范围为.(14)解:解不等式有错,没有对的取值进行讨论正解:解项得,当时,(15)解:最后一步推理有错,没有充足条件.推不出.正解:求证式两边平方有 显然 (其它证法亦可)
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