数学问题解决过程的分析与评价12年

数学问题解决过程的分析与评价（课堂讨论）讨论课：分析下列解题过程中的错误，并改正。（1）P339题目：求的值，其中解： （2）题目：设数列an的前n项和sn与an的关系式是sn=kan+1，（其中k是与n无关的实数，且），求an的表达式。解： 即 （3）题目：已知，求的取值范围。解：由已知条件可知所以因为，所以（4）题目：求函数的最小值。解：因为，所以，所以，故的最小值为2。（5）题目：求函数的最小值。解：因为，当且仅当时等号成立。从中解得，代入上式得，所以y的最小值为。（6） 题：求集合 的交集.。解：由 易见无实数解，故得.（7）、题：设，在复数集中解方程。解：设，则有所以由，有 故 ，所以由，有，故 ，所以由，有（8）题：证明有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.ABDCABDC 已知：如图，在中 ， 求证：证明：在Rt中，.于是有 又 ， .。（9）题：用数学归纳法证明不等式对一切自然数都成立。 证明：i 当时，有命题成立. ii 假设时，有 所以 即当时，命题成立. 综合i,ii可得，原命题对一切自然数成立.（10）题：一直线通过（2，1）且和直线相交成45的角，求此直线方程。解：因直线的斜率，由题意，所求直线与它相交成交角，设所求直线的斜率为，则由得故所求直线方程为，即（11）题：如图，设半径分别为的两圆外切于T，一条公切线分别切两圆于A、B，求证 证明：过A、B分别作圆的直径AC，BD，连AT、BT、CT、DT， T则因有CD所以.所以即（12）题：设。 解：由 解得 ,代入函数表达式得（13）、题：已知关于的方程，.有实根，求的取值范围。解：由，得 （14）题：解不等式 解：移项得不等式的解为（15）题：已知求证。 证明：据等差中项与等比中项的关系有 。 。分析（1）将实数运算法则无根据照搬到复数范围，导致错误。实际上，因为所以原式（2）混淆了通项公式与逆推公式，还应继续解下去。因为，所以又因为，即，所以。故 （3）忽视了隐含条件。此时。由此可得。（4）因为不可能成立，所以在运用基本不等式时，不能取到等号，故不可能等于2。此题可用求导数法，易求得的最小值为。（5）因为根号下的乘积不为定值，所以结果不正确。此题可用求导数法、易求得y的最小值为。（6）正解：由 有 故得 （7）正解：设，则有，若，则（1）化为 （3）当时，；当时，当时，；所以原方程的实数解为：当时，；当时， 若，则（1）化为（4）当时，当时，。所以原方程的纯虚数解为： 当时，；当时，； 当时，无纯虚数根。（8）解：原题结论出错，满足条件的两三角形不一定全等，可举出反例（略），而证明中“如图”已假定了结论成立，事实上满足条件的三角形不一定同为锐角三角形（或同为钝角三角形）。 正解：修改原题增加条件。例如有两边和其中一边上的高对应相等的两锐角（或钝角）三角形全等。（9）.解：时没有验证。 补证：时，结论成立.（10）解：与已知直线相交成45角的直线有两条。 正解：由，解得所以，所求直线为 .（11）解：、共线需要证明. 补证：过作公切线交则所以，,又，所以，共线，共线。（12）解：因互相制约，当取最大值时，不一定也取最大值.正解：由 代入（13）、解：忽视了方程为一次方程的情形。正解：接原解法，补充当原方程有实根，所以的取值范围为.（14）解：解不等式有错，没有对的取值进行讨论正解：解项得，当时，（15）解：最后一步推理有错，没有充足条件.推不出.正解：求证式两边平方有 显然 （其它证法亦可）