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第一讲随机抽样与用样本估计总体,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1随机抽样 考点2统计图表 考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征,考法1三种抽样方法的运用 考法2统计图表的应用 考法3用样本的数字特征估计总体的数字特征,B考法帮题型全突破,C.方法帮素养大提升,方法巧解平均数和方差,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,命题规律,1.命题分析预测对于随机抽样,主要考查三种抽样方法,尤其是分层抽样和系统抽样,一般以选择题和填空题的形式出现;对于用样本估计总体,主要考查利用频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征估计总体,若单独命题一般以选择题和填空题的形式出现,也常作为解答题的一问进行考查. 2.学科核心素养本讲通过对三种抽样方法、用样本估计总体考查考生的数据分析、逻辑推理、直观想象素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1随机抽样 考点2统计图表 考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考点1随机抽样（重点）,三种抽样方法的区别与联系,1.频率分布直方图的绘制 频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下: (1)求极差,即求一组数据中最大值与最小值的差; (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表,落在各小组内的数据的个数叫作频数,每小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的频率,计算各小组的频率,列出频率分布表; (5)画频率分布直方图,依据频率分布表画出频率分布直方图,其中纵坐标(小长方形的高)表示频率与组距的比值,其相应组距上的频率等于该组上的小,考点2统计图表（重点）,长方形的面积,即每个小长方形的面积=组距频率 /组距 =频率. 各个小长方形的面积的总和等于1. 2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作频率分布直方图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 3.茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,辨析比较 各种统计图表的比较,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,1.众数、中位数、平均数,考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征（重点）, ,2.极差、标准差与方差,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,续表,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,续表,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,4.方差的性质 若给定一组数据x1,x2,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,axn的方差为a2s2;ax1+b,ax2+b,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,B考法帮题型全突破,考法1三种抽样方法的运用 考法2统计图表的应用 考法3用样本的数字特征估计总体的数字特征,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考法1 三种抽样方法的运用,示例12018全国卷,14,5分文某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.,答案 分层抽样 解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.所以最合适的抽样方法是分层抽样.,示例2(1)2018广西南宁模拟总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用如图13-1-6中的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取,每次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 图13-1-6 A.08 B.07 C.02 D.01,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,思维导引 (1)依题意,找出第一个数字,再从左到右依次选取两个数字,这两个数字要在01到20之间(包含01和20).,答案 D 解析(1)第1行的第5列和第6列的数字为65,所以被选中的编号依次为08,02,14,07,01.(读数据时,07后的02与前面读出的02重复,注意剔除) 所以选出来的第5个个体的编号为01,故选D.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)2018江西九校联考某超市为了检查货架上的奶粉是否合格,要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是 A.6,12,18,24,30B.2,4,8,16,32 C.2,12,23,35,48D.7,17,27,37,47 思维导引 (2)先求出样本的分段间隔,再判断各选项的编号是否满足分段间隔,不满足则排除,即可得出正确选项,答案 D 样本的分段间隔为 =10,只有选项D的编号的分段间隔为10,(实质是判断各选项所给编号的相邻两数是否总是相差10) 故选D.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(3)2018武汉市五月训练某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件,为了了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= A.9B.10C.12D.13 思维导引 确定抽样比列等式即可求解.,答案 D 解析 解法一设从甲、乙车间依次抽取a体、b件产品,则1208060=ab3,所以a=6,b=4,所以n=a+b+3=13,故选D. 解法二由分层抽样,得 = ,解得n=13,故选D.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,感悟升华 1.三种抽样方法的选择技巧 (1)如果总体中个体之间的差异明显(如年龄、学段、性别、工种),并能据此将总体分为几层(几类、几部分),那么一般选择分层抽样方法; (2)如果总体中个体数很多,无明显层次差异,希望被抽到的个体之间的间隔均等,那么选择系统抽样方法; (3)如果总体中个体数不多,且希望被抽取的个体带有随机性、无固定间隔,那么可以考虑简单随机抽样.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,2.抽样方法中的计算问题的求法 (1)常用的简单随机抽样的方法是抽签法和随机数法. 应用随机数表法的两个关键点:一是确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点,以哪个方向为读数的方向;二是读数时注意结合编号特点进行读取,若编号为两位数字,则两位两位地读取,若编号为三位数字,则三位三位地读取,直到获取整个样本. (2)解决系统抽样题的关键:一是“编号码”,给总体中的N个个体进行编号;二是“定分段间隔”,对于样本容量n,若 为整数,则分段间隔为k= ,若 不是整数,一般先从整体中随机剔除几个个体,再确定分段间隔k(kN*);三是“定规则”,在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(lN,lk),将起始编号l加上间隔k得到第2个个体的编号l+k,再加上k得到第3个个体的编号l+2k,直到获取整个样本.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,注意 (1)系统抽样最基本的特征是“等距性”; (2)每组抽取的号码构成一个以l为首项,k为公差的等差数列,第m组抽取的个体编号为l+(m-1)k. (3)解决分层抽样题的关键是确定抽样比.常用公式: 抽样比= = ;层1的容量层2的容量层3的容量:=样本中层1的容量样本中层2的容量样本中层3的容量.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,拓展变式1 (1)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,32,33这33个两位号码中选取,小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列的数字开始,从左到右依次读取数据,则第4个被选中的红色球的号码为,A.12B.33C.06D.16,答案 C 解析 被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22. 所以第4个被选中的红色球的号码为06.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)2015福建,13,4分某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为.,答案 25 解析 设应抽取的男生人数为x,则 = ,解得x=25.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考法2 统计图表的应用,示例3 2018全国卷,19,12分文某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表,使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,(1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图; (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.),文科数学 第十二章： 统计与统计案例,思维导引(1)利用频数计算出频率,然后根据频率/组距画出频率分布直方图;(2)计算出日用水量小于0.35 m3的频率即可估计概率;(3)首先计算出50天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数,再求出一年能节省的水量即可. 解析(1)频率分布直方图如图所示.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)根据(1)中的频率分布直方图,知该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 = (0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 = (0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3).,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,示例42017北京,17,13分文某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如图所示的频率分布直方图.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,()从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; ()已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数; ()已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 思维导引()分数小于70的频率即为其概率的估计值; ()由于分数小于40的学生人数已知,因此要求分数在区间40,50)内的人数,只要求出分数小于50的人数或频率即可; ()“样本中分数不小于70的男女生人数相等”,这是解题的关键,可先计算出分数不小于70的总人数,问题便迎刃而解.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解析()根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计值为0.4. ()根据题意,样本中分数不小于50的频率为 (0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9, 故样本中分数小于50的频率为0.1. 故分数在区间40,50)内的人数为1000.1-5=5. 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为400=20.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,()由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02+0.04)10100=60. 所以样本中分数不小于70的男生人数为60=30. 所以样本中的男生人数为302=60, 样本中的女生人数为100-60=40, 所以估计总体中男生和女生人数的比例为6040=32.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,方法总结 1.从频率分布直方图中得出有关数据的方法 (1)频率:频率分布直方图中横轴表示样本数据,纵轴表示 ,频率=组距 ,即各小长方形的面积表示相应各组的频率; (2)频率比:因为在频率分布直方图中组距是一个固定值,所以各小长方形高的比也就是频率比; (3)众数:最高小长方形底边中点对应的横坐标; (4)中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标; (5)平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和; (6)性质应用:若纵轴上存在参数值,则根据“所有小长方形的高之和组距=1”列方程即可求得参数值. 2.常用结论 (1)频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1; (2)频率= =组距 ,频数=样本容量频率,样本容量= ; 注意 频率分布直方图中纵轴表示,而不是频率,注意与条形图的区分.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,拓展变式2 2019成都市摸底测试2018年央视大型文化节目经典咏流传热播,在全民中掀起了诵读诗词的热潮.某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读时间都在两小时内),并按时间(单位:min)将学生分成六个组:0,20),20,40),40,60),60,80),80,100),100,120,经统计得到了如图所示的频率分布直方图.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(1)求频率分布直方图中a的值,并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间; (2)若2名同学诵读诗词的时间分别为x,y.当x,y满足|x-y|60时,这2名同学组成一个“Team”.已知从每天诵读时间小于20 min和大于或等于80 min的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人,现从这5人中随机选取2人,求选取的2人能组成一个“Team”的概率.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解析 (1)各组数据的频率之和为1,即所有小矩形的面积和为1, (a+a+6a+8a+3a+a)20=1,解得a=0.002 5. 该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为 100.05+300.05+500.3+700.4+900.15+1100.05=64(min). (2)由频率分布直方图,知0,20),80,100),100,120内的学生人数的频率之比为131, 故5人中0,20),80,100),100,120内的学生人数分别为1,3,1. 设0,20)内的1名学生为A,80,100)内的3名学生分别为B,C,D,100,120内的1名学生为E,则抽取2人的所有基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种. 选取的2人能组成一个“Team”的情况有AB,AC,AD,AE,共4种, 故选取的2人能组成一个“Team”的概率P= = .,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,考法 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征,示例5 某市为调查甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度,用简单随机抽样从这两校中分别抽取30名学生,根据他们对分层教学模式的满意度评分(百分制),绘制茎叶图如图. (1)估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数; (2)设甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度评分的平均数分别为 估计 的值.,思维导引(1)求出茎叶图中的甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数,从而可估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数;(2)观察茎叶图中的数据,分别求出甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度评分的样本数据的平均数,从而可估计 的值. 解析(1)样本数据中,甲学校学生对分层教学模式的满意度评分处于最中间的两个数是70,70, 所以样本数据中甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数是70,由此估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数是70. (用样本的中位数来估计总体的中位数),文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(2)解法一设甲、乙两校样本中学生对分层教学模式的满意度评分的平均数分别为 (因为是样本的平均数,与题中的总体平均数是不同的,故需另外设字母来表示)根据样本茎叶图可知,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解法二 设甲、乙两校样本中学生对分层教学模式的满意度评分的平均数分别为 根据样本茎叶图可知, 30 =30 -30 =(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.(直接求30 ,达到“妙算”的目的) 因此 =0.5,故 的估计值为0.5. 点评本题的易错点有两处:一是由茎叶图读数据时读错或漏读,导致所求的平均数出错;二是运算不认真,导致所求得的结 果出错.显然解法二的运算量比解法一的运算量少得多,因此,认真审题,多思少算,既可简化运算,又可避免运算错误.,感悟升华 平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,拓展变式3 2015广东,17,12分 某工厂36名工人的年龄数据如下表.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的均值 和方差s2; (3)36名工人中年龄在 -s与 +s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,解析,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,C.方法帮素养大提升,方法巧解平均数和方差,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,方法巧解平均数和方差,平均数和方差的计算是每年高考的常考内容,下面介绍平均数和方差的两个计算方法. 1.找齐法 在计算平均数时,如果这些数字都在某个数字左右摆动,就选取一个数字作为标准进行找齐.,示例6 计算数据87,86,90,82,83,85,88,80,79,90的平均数和方差.,思维导引这组数据都在85左右摆动,把每个数字都减去85后进行计算.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,示例7 计算数据54,55,53,56,57,58的方差.,思维导引 可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算.,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,方差反映的是数据组偏离平均值的程度,因此把数据组中的每一个数据都加上或者都减去一个相同的数不影响方差的大小,当我们计算的数据较大时,这个方法能有效地简化运算.,技巧点拨,文科数学 第十二章： 统计与统计案例,
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