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材料力学,2020/7/15,2,材 料 力 学,秦始皇有鞭石之法,费长房有缩地之方,山东蓬莱阁,3,登 高,风急天高猿啸哀,渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下,不尽长江滚滚来。 万里悲秋常作客,百年多病独登台! 艰难苦恨繁霜鬓,潦倒新停浊酒杯。,杜 甫,2020/7/15,4,第2章 剪切与扭转,一、剪切变形 受力 外力垂直于杆轴,相距很近 剪切面上的内力为剪力 变形 相对错动(相邻截面) 角度变化,2.1 剪切与扭转的概念,2020/7/15,5,产生剪切变形的构件 连接件:螺栓、销钉、铆钉、键 木材的齿连接 剪切面个数nv 单面剪切 双面剪切 三面剪切 ,2020/7/15,6,二、扭转变形 外力特点 外力偶作用面垂直于杆件轴线,右手定则平行于杆件轴线 外力偶矩平衡(静止不动,或匀角速度转动) 变形特点 外力偶作用面之间任意 两横截面发生相对转动(绕轴线) 扭转角,扭转变形为主的构件,一般称为轴(shaft),2020/7/15,7,扭转的工程实例 传动轴 主动轮带动从动轮转动 每轮处存在外力偶 汽车方向盘的转向轴 转向力通过方向盘 以力偶传给转向轴,2020/7/15,8,三、剪应变和剪应力 1. 剪应变,相邻截面发生相对错动,剪切位移(相对错动位移)BB或CC ,小变形假设,直角的改变量(弧度)称为剪应变(shear strain),或角应变、切应变。,2020/7/15,9,2. 剪切胡克定律,剪切面上有剪应力,在比例极限内,剪应力与剪应变成正比,比例常数G称为剪切弹性模量,或切变模量,具有应力的量纲,常以GPa为单位,材料常数之间的关系,三个弹性常数中仅两个独立,2020/7/15,10,图示正交平面构成的长方体 x、y、z 方向力自动平衡 对y、z 轴的距自动平衡,剪应力互等定理:在相互垂直的面上,剪应力双生互等,对交线而言,同背向。,剪应力互等定理,2020/7/15,11,一、剪应力和承压应力 1. 剪应力,假定剪应力在剪切面上均匀分布,2.2 剪切的实用计算,剪切面上的剪力V由截面法确定。对于单面剪切和螺栓双面剪切,设剪切面有nv个,则截面上的剪力,2020/7/15,12,2. 承压应力 物体之间的作用力 F,并非集中力,而是 在一个面积内分布的分布压 力,其集度成为承压应力或 挤压应力(bearing stress),假定在计算承压面上均匀分布,计算承压面=真实面积(平面接触),=假面积dt(半圆柱面接触),2020/7/15,13,平面承压面,平面承压面,半圆柱面承压面,2020/7/15,14,例题2.1 图示榫接头,求剪切面上的剪应力和承压面上的承压应力。 解,剪切应力,MPa,承压应力,MPa,2020/7/15,15,例题2.2 铆钉受力如图,承压应力计算有下列四种: A. bs=F/(td) B. bs=2F/(td) C. bs=2F/(td) D. bs=4F/(td) 解 承压高度 t/2,答案:B,2020/7/15,16,例题2.3 图示法兰盘由四个直径10mm的螺栓连接,承受力矩作用,砝兰盘厚度12mm。计算连接的剪应力和承压应力。 解:每个螺栓承力F,F,N,剪应力,MPa,承压应力,MPa,O,2020/7/15,17,二、剪切强度条件及其应用 1. 剪切强度条件 极限状态设计法,材料的抗剪强度设计值,材料的承压强度设计值,容许应力法,材料的容许(许用)剪应力,材料的许用(容许)承压(挤压)应力,2020/7/15,18,2. 应用于螺栓抗剪连接 工程上采用搭接和加盖板的对接,故为单面或双面剪切,单个螺栓抗剪,满足抗剪条件,一个螺栓所能承担的轴力值,单个螺栓承压,同一受力方向承压构件的较小总厚度,满足承压条件,一个螺栓所能承担的轴力值,2020/7/15,19,既满足抗剪,又满足承压,一个螺栓所能承担的轴力,已知总的轴向拉力(或压力)设计值F,连接所需螺栓数为,收尾法取整,2020/7/15,20,例题2.4 两块钢板用普通螺栓的盖板拼接。钢板宽360mm,厚8mm;盖板厚6mm。已知轴心拉力设计值F=325kN,钢材为Q235B,C级螺栓(4.8级)M20。试求连接一侧所需螺栓个数。已知螺栓抗剪强度设计值为140MPa,承压强度设计值305MPa.,2020/7/15,21,解答:,N/mm2,N/mm2,一个螺栓承载力(双面剪切),N,N,N,kN,连接一侧所需螺栓数,可取7个或8个螺栓,2020/7/15,22,三、剪切破坏条件 1. 需要剪切破坏的情形 (1)保险钉、保险栓 (2)冲压加工 (3)剪裁材料(剪断钢筋、钢板),2. 剪切破坏条件 剪切面上的计算剪应力不低于材料的抗剪强度极限,2020/7/15,23,例题2.5 已知钢板厚度t=10mm,钢板的剪切强度极限b=400MPa,若用冲床在此钢板上冲出一个直径d=30mm的圆孔,问需要多大的冲切力F? 解: 在冲孔中,剪切面是一个圆柱面,冲孔条件,所以,N,kN,2020/7/15,24,2.3 扭矩与扭矩图,一、外力偶矩 1. 已知力偶矩Me 2. 已知力 F,力臂a Me = Fa,3. 已知功率和转速 设功率为 P(power),转速为 n ,则有,2020/7/15,25,所以,当Pk (kW), n (r/min),N.m,当Ph (horsepower马力), n (r/min),N.m,做功,功率,2020/7/15,26,二、任意截面的扭矩 1. 扭矩的正负符号规定 右手法则,大拇指所指为T的指向 T与截面的外法线一致者为正,反之为负 2. 任意截面的扭矩,左段平衡,2020/7/15,27,T= 截面以左外转矩之和(左指为正) T= 截面以右外转矩之和(右指为正),左段平衡结果,右段平衡,规律总结:,2020/7/15,28,三、扭矩图 1. 扭矩图 扭矩沿杆件截面位置变化的曲线(图线),称为扭矩图 是内力图之一 2. 坐标系 横坐标杆件轴线 纵坐标扭矩,直观判断危险截面,2020/7/15,29,例题2.6 作图示杆件扭矩图 解:,T (N.m),x,1800,3200,1200,2020/7/15,30,例题2.7:作扭矩图 已知轴之转速1000 r/min,B处输入功率20 kW,A、C 轮输出分别为12 kW和8 kW。 解: (1)外转矩,N.m,N.m,(2)扭矩图,x,T (N.m),114.59,76.39,2020/7/15,31,2.4 圆轴扭转,一、扭转剪应力 1. 扭转变形规律 平面假定, 应力与变形关系 任一点的切应力与到圆心的距离成正比。 写成等式,2020/7/15,32,2. 剪应力分布规律 实心圆截面:三角形分布 空心圆截面:梯形分布 最大剪应力:圆轴外边缘,2020/7/15,33,3. 剪应力计算公式,所以,其中,截面的极惯性矩,截面的抗扭系数(模量),max,2020/7/15,34,此处,极惯性矩按定义计算,2020/7/15,35,实心圆截面( = 0),截面抗扭系数,4. 剪应力强度条件,或,2020/7/15,36,例题2.8 圆轴直径D=100mm,承受扭矩14kN.m,求A、B、C三点剪(切)应力的数值及方向。 解:,mm3,MPa,水平向左,MPa,竖直向上,MPa,竖直向上,A,B,c,2020/7/15,37,例题2.9 已知图示受载圆轴的直径d=60 mm,材料的许用剪应力=50MPa。校核其强度。 解:,(1) 危险截面:右起第二段,kN.m,2020/7/15,38,(2)几何值,mm3,(3)强度校核,MPa,MPa,满足强度条件,2020/7/15,39,二、扭转变形计算 1. 扭转角,扭转刚度,扭矩和刚度为常量时,扭矩和刚度分段为常量时,2020/7/15,40,2. 刚度条件 单位长度扭转角为,弧度为单位时,度为单位时,最大单位长度扭转角不超过允许值,或rad/m,rad/mm,2020/7/15,41,例题2.10 图示受扭圆轴,已知G=80 GPa, =50MPa, =1/m,试设计直径d。 解:,(1) 危险截面:左边段,kN.m,2020/7/15,42,(2)强度条件确定直径,mm,(3)刚度条件确定直径,/m,rad/mm,2020/7/15,43,(4)最后结果,mm,mm,可取 d = 62 mm,2020/7/15,44,例题2.11 图示圆轴,Me1=5kN.m, Me2=3kN.m, l=0.5m, G=70GPa, =50MPa, =0.8/m。校核轴的强度和刚度。 解 (1)BC段危险 Tmax = 3 kN.m (2)强度校核,mm3,2020/7/15,45,(3)刚度校核,MPa, =50MPa,mm4,rad/mm,/m, =0.8/m,强度条件和刚度条件都满足,2020/7/15,46,2.5 非圆截面扭转,一、基本规律 平面假设不成立 相邻截面相对转动 横截面不再保持为平面,截面发生翘曲 剪应力规律 剪应力并不与所在点到截面中心的距离成正比 边界点上的剪应力沿边界线的切线 角点(尖角点)剪应力为零,弹性力学可以给出理论解答,2020/7/15,47,二、几个简单的非圆截面扭转 1. 椭圆截面扭转,最大剪应力发生在边界线上最靠近中心的A、B两点,单位长度扭转角为,且,且,当a=b=R=D/2时,公式与圆截面的公式完全相同,2020/7/15,48,2. 矩形截面扭转,单位长度扭转角,最大剪应力发生在长边中点,系数、与矩形的边长比h/b的关系,2020/7/15,49,3. 狭长矩形截面扭转,单个狭长条截面,2020/7/15,50,狭长条组合截面,第i个条长边中点剪应力,最大剪应力出现在最厚的矩形条上,2020/7/15,51,例题2.12 图示两种截面,承受相同的扭矩600N.m,试计算各自的最大剪应力,并比较大小。 解,设闭口圆环截面中最大剪应力为1,设开口薄壁截面中最大剪应力为 2,2020/7/15,52,(1) 计算1,mm3,MPa,(2) 计算2,mm,mm,mm,MPa,(3) 最大剪应力比值,2020/7/15,53,The End,说明开口薄壁杆件的抗扭能力远远低于闭口薄壁杆件,故大型桥梁通常采用箱形截面。,钢箱梁,预应力钢筋混凝土箱梁,
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