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1一、基本概念周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长面积：物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积二、基本公式：长方形的周长2(长宽),面积长宽正方形的周长4边长,正方形的面积边长边长三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积,对于一些不规则的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形,利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解（2）转化是一种重要的数学思想方法,在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分转化后的图形虽然形状变了,但其周长和面积不应该改变,所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形（3）寻求正确有效的解题思路,意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径因此,我们在解决数学问题时,思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题也就是说,在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时,我们往往转化问题的形式,从侧面或反面寻找突破口,知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题这种解决问题的思想在数学中叫“化归”,它是数学思维中重要的思想和方法（4）在几何中,有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的这样的图形我们称为不规则图形不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算那么,不规则图形的面积怎样去计算呢?对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段四、几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中,常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算其中,将图形沿一个固定方向的移动叫做平移,一个图形经过平行移动不改变其形状与大小,所以图形面积是保持不变的利用图形的平移,可以使面积计算问题的解法简捷明快,颇有新意（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”,我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在九章算术注中就明知识点拨知识点拨4-2-2.4-2-2.巧求周长巧求周长2确地提出“出入相补,各从其类”的出入相补原理这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形,它的面积不变（3）旋转在平面图形的割补中,有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置,产生一种新的图形结构,图形在转动过程中形状大小不发生改变利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧可以完全重合也就是说,如果一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积熟悉轴对称图形这个性质,对面积计算会有很大帮助（5）代换在几何计算中,对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、旋转、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求周长的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力模块一、图形的周长和面积割补法【例例 1】求图中所有线段的总长(单位：厘米)EDCBA2134【例例 2】如图所示,点B是线段AD的中点,由A、B、C、D四个点所构成的所有线段的长度均为整数,若这些线段的长度之积为 10500,则线段 AB 的长度是 .ABCD【例例 3】三只猴子走得一样快,所走的路线如下图.哪只猴子先吃到桃子,就在它旁边的()里画勾.B ()C ()A ()例题精讲例题精讲3【例例 4】在一个长方形的面积为 169 平方厘米.在这个长方形内任取一点 P,则点 P 到长方形四边的距离之和最小值为_厘米.【例例 5】边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是多少?【巩固】用一块长8分米,宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形拼成的正方形的周长是多少分米?48【例例 6】用 7 个长 4 厘米,宽 3 厘米的长方形拼成一个大长方形,在所有可能的拼法中,大长方形周长的最小值是厘米.【巩固巩固】用 6 张边长为 2 厘米的正方形纸片拼成一个长方形,这个长方形的周长是_厘米【巩固巩固】用 6 张边长为 3 厘米的正方形纸片拼成一个长方形,这个长方形的周长是_厘米.4【例例 7】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是244厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个?【巩固巩固】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是236厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个?【例例 8】将一个边长为 4 厘米的正方形对折,再沿折线剪开,得到两个长方形请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米?【巩固巩固】把一个边长为 a 的正方形分成两个完全相同的长方形,则这两个长方形的周长的和是 .【巩固巩固】如图,两个长方形拼成了一个正方形.如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少 6 厘米,则正方形面积是_平方厘米.【巩固巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形,长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米,原来一个正方形的周长是多少厘米?5【例例 9】长方形ABCD长为 l0 厘米,宽为 4 厘米E是BC中点,四边形ADCE的周长比三角形ABE的周长多（）厘米EDCBA【例例 10】（第六届走美四年级初赛第 15 题）E 是正方形 ABCD 的边 CD 上的三等分点(如图),BE 把正方形分成一个梯形和一个三角形梯形的周长比三角形的周长大 8 厘米正方形 ABCD 的面积是 EDCBA【例例 11】如图所示,一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形,各条线段长度见图(单位：厘米)求：图中所有长方形的周长之和21342【例例 12】如图,从长方形纸片 ABCD 上剪去正方形 ADFE,剩下的长方形 EFCB 的周长是 100 厘米,则 AB 的长是 厘米.FEDCBA6【例例 13】如图,正方形 ABCD 的边长是 6 厘米,过正方形内的任意两点画直线,可把正方形分成 9 个小长方形.这 9 个小长方形的周长之和是 厘米.DCBA【巩固巩固】如图,正方形的边长为4,被分割成如下12个小长方形,求这12个小长方形的所有周长之和【巩固巩固】有一个长方形纸片,长比宽多2厘米,周长是36厘米,用剪刀剪3下（如图）,这6个长方形的周长之和是 .【例例 14】如图,一个正方形被分割成24个互不重叠的小长方形,这24个小长方形的周长总和为24,原正方形的面积是 .7【例例 15】如图,有一张长为 12 厘米,宽为 10 厘米的长方形纸片,按照虚线将这个纸片剪为两部分,这两部分的周长之和是_厘米3丙 丙4丙 丙【例例 16】将若干个边长为1的正六边形(即单位六边形)拼接起来,得到一个拼接图形,如图：周 周=14周 周=12周 周=10周 周=6那么,要拼接成周长等于18的拼接图形,需要多少个单位六边形?画出对应的一种图形模块二、图形的周长和面积平移【例例 17】一个周长是 20 厘米的正方形,剪下一个周长是 6 厘米的正方形,剩下的图形的周长是_（写出所有可能的结果）8【巩固巩固】如图 3 所示,这是三个边长为 10 厘米的正方形纸片.从（1）和（2）中各剪去一个面积是 4 平方厘米的小正方形,从（3）中剪去一个面积是 4 平方厘米的长方形.比较（1）,（2）,（3）,剩下部分周长最小的是_（填图形编号）,它的周长是_厘米.丙 1丙丙 2丙41丙 3丙【例例 18】一个长为12厘米,宽为10厘米的长方形,挖去一个边长为4厘米的正方形补在另一边上（如图）.所得图形的周长为 厘米.【巩固巩固】一个周长是 20 厘米的正方形,剪下一个周长是 6 厘米的正方形,剩下的图形的周长是 (写出所有可能的结果)【例例 19】下边这个图形的周长等于_厘米.丙 丙 丙 丙 丙2030609【巩固巩固】下图中标出的数表示每边长,单位是厘米它的周长是多少厘米?65133156【巩固巩固】求右图所示图形的周长(单位：分米)501050【巩固巩固】如下图是某校的平面图,已知线段 a120 米,b130 米,c70 米,d60 米,l250 米杨老师每天早晨绕学校跑 3 圈,问每天跑多少米?1dcba abcd1【例例 20】下图表示一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角已知西边篱笆长17米,南边篱笆长23米四周篱笆长多少米?丙丙23丙丙 17 CDBA2317丙丙丙丙【巩固巩固】右图的周长是 分米106丙 丙7丙丙【巩固巩固】计算右边图形的周长(单位：厘米).1510【巩固巩固】下图是一个锯齿状的零件,每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米,求这个零件的周长 【例例 21】将边长为 10 厘米的五张正方形纸片如图那样放置,每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形,它的边长是原正方形边长的一半,则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为_厘米.【例例 22】下图是一面砖墙的平面图,每块砖长 20 厘米,高 8 厘米,像图中那样一层、二层一共摆十层,求摆好后这十层砖墙的周长是多少?11 【巩固巩固】“走美商场”开业了！每口如图有规律地放了一些同样的礼品盒供顾客免费领取.每一礼品盒宽9厘米,长18厘米（取“永久发达”的吉祥寓意）.摆好后其上面四层的正面图如下图所示,共摆十层,则一共有 个礼品盒,整个图形周长为 厘米.【例例 23】下图由 25 个边长为 3 厘米的小正方形拼成,它的周长为 厘米.【例例 24】如图,每个小方格是一个正方形,如果该图总面积是 52 个平方单位,试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位?【例例 25】把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状,求该图形的周长?12【例例 26】两只小蚂蚁同时从图中的A点出发开始爬向B点,红蚂蚁沿图中的实线爬行,黑蚂蚁沿图中虚线爬行,如果两只蚂蚁的爬行速度相同,则最先到达B点的是 BA【巩固巩固】如下图,正方形操场边长 100 米,一只蚂蚁沿甲地走了一圈,另一只蚂蚁沿乙地走了一圈,谁走的路长?它们各走了多少米?丙丙30丙50丙100丙【例例 27】求下图的周长35丙 丙50丙 丙10丙 丙35丙丙50丙 丙DCBA【巩固巩固】求右图的周长 1310103020【巩固巩固】右图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形求这个图形的周长?35【例例 28】下图的小正方形边长为 1 厘米这个图形的外沿的周长是多少厘米?【例例 29】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中,周长较大的是 (在横线上填写表示图名的字母)141014BA【例例 30】如图是一个机器零件的侧面图,图中每一条最短线段长 5 厘米,这个零件高 30 厘米,求这个零件侧面的周长是多少厘米?14 30丙丙30丙丙【例例 31】图中是由周长都是 20 厘米的小正方形组成的,它的周长是多少厘米?【巩固巩固】下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“土”字图形试求出其周长【例例 32】右图是由16个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是多少厘米?【例例 33】图、图都是由完全相同的正方形拼成的,并且图的周长是22厘米,那么图的周长是多少厘米?15丙 1丙 丙 2丙【例例 34】图中共有 16 条线段,每两条相邻的线段都是互相垂直的为了计算出这个图形的周长,最少要量出多少条线段的长度?【例例 35】如图,每个小格的边长都是 1 个单位长度,一只甲虫在水平方向上每爬行 1 个单位长度需要 5 秒,在竖直方向上每爬行 1 个单位长度需要 6 秒,每拐弯一次需要 1 秒.它从 A 点爬到 B 点,最少需要 秒.BA【例例 36】右图中的每个拐弯处的角都是直角,且它的八条边的边长分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米.这个图形的面积最大是_平方厘米;最小是_平方厘米HGFEDCBA【例例 37】如图,一个长方形被分成 A、B、C 三块,其中 B 和 C 都是长方形,A 的八条边的边长分别是l、2、3、4、5、6、7、8 厘米.那么 B 和 C 的面积和最多是 平方厘米.(示意图不成比例)16CBA模块三、整体看问题【例例 38】下图中的阴影部分BCGF是正方形,线段FH长18厘米,线段AC长24厘米,则长方形ADHE的周长是 厘米HGFEDCBA【巩固巩固】如图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形已知10cmAF,7cmHC,求长方形ABCD的周长HGFEDCBA【巩固巩固】如图,长方形 ABCD 中有一个正方形 EFGH,且 AF=16 厘米,HC=13 厘米,长方形 ABCD 的周长为 厘米.HGFEDCBA【例例 39】如右图所示,在一个正方形内画中、小两个正方形,使三个正方形具有公共顶点,这样大正方形被分割成了正方形区域甲,和L形区域乙和丙甲的边长为4厘米,乙的边长是甲的周长的1.5倍,丙的周长是乙的周长的1.5倍,那么丙的周长为多少厘米?EF长多少厘米?17丙丙丙IJHGFEDCBA【例例 40】图内 9 个相同的小长方形构成大长方形,大长方形周长为 90,则每个小长方形周长为 .【例例 41】有9个小长方形,它们的长和宽分别相等,用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米,求这个大长方形的周长【例例 42】右图的长方形被分割成5个正方形,已知原长方形的面积为120平方厘米,求原长方形的长与宽【例例 43】小明骑车到 A、B 和 C 三个景点旅游,如果从 A 地出发经过 B 地到 C 地,共行 10 千米;如果从 B 地出发经过 C 地到 A 地,共行 13 千米;如果从 C 地出发经过 A 地到 B 地,共行 11 千米,则距离最短的两个景点之间相距 千米.
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