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第3章,三角函数,3.2任意角的三角函数 3.2.2同角三角函数之间的关系,学习目标,1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？ 答在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角的终边与单位圆交于P(x,y)点,则有sin y, cos x,tan .,知识链接,2.如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？,预习导引,1.任意角三角函数的定义 如图所示,以任意角的顶点O为坐标原点,以角的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系.设P(x,y)是任意角终边上不同于坐标原点的任意一点.,则sin ,cos ,tan .,2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： . (2)商数关系： . 3.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2cos21的变形公式： sin2；cos2 ； (2)tan 的变形公式： sin ；cos .,sin2cos21,1cos2,1sin2,cos tan ,要点一利用同角三角函数的基本关系式求值,如果是第三象限角,同理可得,规律方法已知角的某一种三角函数值,求角的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1sin2 cos2”.本题没有指出是第几象限的角,则必须由cos 的值推断出所在的象限,再分类求解.,又sin2 cos21,要点二三角函数代数式的化简,解由于sin tan 0,则sin ,tan 异号,是第二、三象限角, cos 0,规律方法解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数.从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2 cos21,以降低函数次数,达到化简的目的.,跟踪演练2已知tan 3,则,1,(2)sin23sin cos 1 . 解析sin23sin cos 1,1,要点三三角函数恒等式的证明,原等式成立.,规律方法(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异,有目的的化简. (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简. (3)常用方法：左右；右左；左中右.,跟踪演练3已知2cos4 5cos2 7asin4 bsin2 c是恒等式.求a、b、c的值. 解2cos4 5cos2 72(1sin2)25(1sin2)724sin2 2sin4 55sin2 72sin4 9sin2 , 故a2,b9,c0.,1,2,3,4,A,解析利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.,1,2,3,4,解析由是第三象限的角,得到cos 0,1,2,3,4,解是第三象限角,sin 0, 由三角函数线可知1cos 0.,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,原等式成立.,课堂小结,2.已知角的某一种三角函数值,求角的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin 或cos 时,其正负号是由角所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式. 3.在三角函数的变换求值中,已知sin cos ,sin cos ,sin cos 中的一个,可以利用方程思想,求出另外两个的值.,4.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法. 5.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用的技巧有： “1”的代换；减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系来求解.,
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